Страница: 1
2 >> [Всего задач: 7]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник
света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы
один из шаров?
Решение
Ответ: да, можно.
Пусть источник света находится в центре
O правильного тетраэдра
ABCD.
Рассмотрим трёхгранный угол, образованный лучами
OA,
OB и
OC. Построим
шар, пересекающий лучи
OA,
OB и
OC и не содержащий точки
O. Такой
шар, как легко видеть, существует: можно, например, взять шар, касающийся
лучей
OA,
OB и
OC, и слегка его увеличить (или приблизить к
O). Этот
шар, очевидно, закроет весь трёхгранный угол
OABC. Другим шаром закроем
угол
OABD. Если второй шар пересекается с первым, то, отодвигая его центр
по лучу
OP, где
P — центр второго шара, и соответственно увеличивая его
радиус, всегда можно добиться того, чтобы второй шар не пересекался с первым.
Затем точно так же построим шар, закрывающий трёхгранный угол
OACD и не
пересекающийся с двумя первыми шарами, и шар, закрывающий трёхгранный угол
OBCD.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Ребро куба
ABCDA1
B1
C1
D1
равно 1.
Найдите радиус сферы, касающейся:
а) рёбер
BA ,
BB1
,
BC и плоскости
A1
DC1
;
б) рёбер
BA ,
BB1
,
BC и прямой
DA1
.
Решение
а) Центр
O сферы радиуса
r , касающейся рёбер
BA ,
BB1
и
BC ,
лежит на луче
BD1
(рис.1). Известно, что диагональ
BD1
куба
ABCDA1
B1
C1
D1
перпендикулярна плоскости
A1
DC1
,
проходит через точку
M пересечения медиан треугольника
A1
DC1
и
делится этой точкой в отношении
2
:1
, считая от вершины
B ,
поэтому
OM = r и
BM = BD1
= .
Рассмотрим сечение куба плоскостью
BB1
D1
D (рис.2).
Получим прямоугольник
BB1
D1
D со сторонами
BB1
=1
,
BD=
и диагональю
BD1
= , окружность радиуса
r с центром
O на диагонали
BD1
, касающуюся в точке
M отрезка
DK , соединяющего
точку
D с серединой
K стороны
B1
D1
, а также касающуюся луча
BB1
в некоторой точке
L .
Обозначим
B1
BD1
= α .
Тогда
sin α = = ,
OB = = r.
Заметим, что точка
O луча
BD1
лежит на отрезке
BM , а не на его продолжении,
т.к. иначе сфера касалась бы не рёбер
BA ,
BB1
и
BC , а их продолжений.
Следовательно,
OM+OB = MB, илиr+r =
,
откуда находим, что
r= .
б) Пусть
Q – центр сферы радиуса
R , касающейся рёбер
BA ,
BB1
,
BC и прямой
DA1
(рис.1). Точка
Q также лежит на луче
BD1
. Рассмотрим
сечение куба и сферы плоскостью
A1
DC1
. Получим равносторонний треугольник
A1
DC1
со стороной
и окружность с центром в точке
M , вписанную
в этот треугольник. Если
N – точка касания окружности со стороной
DA1
, то
MN = = – радиус этой
окружности. Обозначим
QM = x . Заметим, что точка
Q лежит на отрезке
BM ,
а не его продолжении. Из прямоугольного треугольника
QMN находим, что
R = QN = = .
С другой стороны, если сфера касается ребра
BB1
в точке
P , то
QP = R и
из прямоугольного треугольника
QPB находим, что
R=QP = QB sin α = (BM-QM) sin α = (-x)· .
Из уравнения
=(-x)·
находим, что
x= . Следовательно,
R=(-x)· =
( - )·
=2-.
Ответ
;
2
- .
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Ребро куба
ABCDA1
B1
C1
D1
равно 1.
Найдите радиус сферы, касающейся:
а) рёбер
AD ,
DD1
,
DC и плоскости
A1
BC1
;
б) рёбер
AD ,
DD1
,
DC и прямой
BC1
.
Ответ
;
2
- .
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Ребро куба
ABCDA1
B1
C1
D1
равно 1.
Найдите радиус сферы, касающейся:
а) рёбер
AB ,
AA1
,
AD и плоскости
B1
CD1
;
б) рёбер
AB ,
AA1
,
AD и прямой
CD1
.
Ответ
;
2
- .
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Ребро куба
ABCDA1
B1
C1
D1
равно 1.
Найдите радиус сферы, касающейся:
а) рёбер
CB ,
CC1
,
CD и плоскости
B1
AD1
;
б) рёбер
CB ,
CC1
,
CD и прямой
AD1
.
Ответ
;
2
- .
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 7]