ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 92]      



Задача 32088

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Интерполяционный многочлен Лагранжа ]
[ Интерполяционный многочлен Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60850

Темы:   [ Двоичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди чисел [2k$ \sqrt{2}$] ( k = 0, 1,...) бесконечно много составных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61102

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлены Чебышева ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что  cos α° = 1/3.  Является ли α рациональным числом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61103

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлены Чебышева ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если  p/q  рационально и  cos (p/q)° ≠ 0, ±½, ±1,  то
cos (p/q)°  – число иррациональное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61166

Темы:   [ Метод спуска ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36o при вершине несоизмеримы.
б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности $ \sqrt{2}$.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 92]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .