ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      



Задача 61038

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Кубические многочлены ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  x3 + px2 + qx + r = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61426

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x4y²z + y4x²z + y4z²x + z4y²x + x4z²y + z4x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x5 + y5 + z5x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116758

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Положительные действительные числа    a1, ..., an  и k таковы, что  a1 + ... + an = 3k,     и    .
Докажите, что какие-то два из чисел  a1, ..., an  отличаются больше чем на 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116765

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства     Докажите, что  k² ≥ 25/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61424

 [Неравенство Мюрхеда]
Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пусть  α = (α1, ..., αn)  и  β = (β1, ..., βn)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x1, ..., xn  выполняется неравенство  Tα(x1, ..., xn) ≥ Tβ(x1, ..., xn).
Определение многочленов Tα смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .