ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



Задача 109780

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Теория множеств (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109851

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю больших 1000000, что  1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1/abcd.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56892

Темы:   [ Треугольники (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что  AB1 : B1C = cn : an,  BC1 : C1A = an : bn  и  CA1 : A1B = bn : cn  (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 107816

Темы:   [ Многочлены Чебышева ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

Прислать комментарий     Решение

Задача 107843

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Замена переменных ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

+ + ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .