ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 73]      



Задача 35407

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.
Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Подсказка

Уравнение искомой окружности является линейной комбинацией уравнений двух данных парабол.

Решение

Введём координаты так, что ось x будет осью симметрии первой параболы, а ось y – осью симметрии второй параболы. Уравнения парабол тогда примут вид:  x = ay² + by = cx² + d.  Коэффициенты a и c можно считать положительными (выбрав соответствующие направления на осях). Каждая из четырёх точек пересечения парабол удовлетворяет этим двум уравнениям. Домножив первое уравнение на c, второе – на a и сложив их, получим уравнение
cx + ay = ac(x² + y²) + ad + cb.  Последнее уравнение преобразуется к виду     Это уравнение окружности (правая часть положительна, иначе параболы не имели бы точек пересечения), на которой лежат четыре точки пересечения парабол.

Прислать комментарий

Задача 65303

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Модуль числа (прочее) ]
[ Математическая статистика ]
[ Средние величины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан числовой набор x1, ..., xn. Рассмотрим функцию  .
  а) Верно ли, что функция d(t) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел x1, ..., xn?
  б) Сравните значения d(c) и d(m), где  ,  а m – медиана указанного набора.

Решение

  а) Рассмотрим набор  {2, 4, 7, 11}.  Построим функцию d(t) для этого набора. Сначала построим графики функций  y = |x – 2|,  y = |x – 4|,  y = |x – 7|,  y = |x – 11|.
  Теперь построим графики функции    (красный) и    (зелёный).

  Изобразим график функции  y = d(t)  оранжевым цветом. Это легко сделать, если в каждой точке взять середину вертикального отрезка, соединяющего зелёный и красный графики. Этот график имеет изломы во всех точках, где имеет изломы график функции   .  При этом функция  y = d(t),  очевидно, не может возрастать там, где убывает функция    и не может убывать там, где эта функция возрастает.
  Видно, что функция  y = d(t)  принимает наименьшее значение не в одной точке, а в каждой точке из отрезка  [6,5; 7].

  б) Из проведённого рассуждения следует, что функция  y = d(t) не может возрастать левее точки c и не может убывать правее этой точки. Значит,  d(c) ≤ d(t)  для любого t, в частности для  t = m.

Прислать комментарий

Задача 66108

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Производная и касательная ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

Решение

Графики  y = ⅛ (x² + 6x – 25)  и  y = ⅛ (25 + 6 – x²)  имеют оси  x = ±3,  а пересекаются при  x = ±5.  Произведение тангенсов углов наклона касательных в точках пересечения равно  1/64 (2·5 + 6)(6 – 2·5) = –1.  Значит, касательные в этих точках перпендикулярны.

Ответ

Неверно.

Прислать комментарий

Задача 98574

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Верно ли, что на графике функции  y = x³  можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превысит 1/100?

Решение

  Положим  c = 100³ + 100 + 1,     Поскольку  (100 + δ)³ = с,  точки  A(100 + δ, c)  и  B(100, c)  лежат на соответствующих графиках. При этом  AB = δ.  Но  3·100²·δ < (100 + δ)³ – 1003 = 101,  то есть  

Ответ

Верно.

Прислать комментарий

Задача 105139

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что на графике функции  y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превышает 1/100.

Решение

См. решение задачи 98574.

Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 73]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .