ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



Задача 110123

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Квадратные трёхчлены  P(x) = x² + ax + b  и  Q(x) = x² + cx + d  таковы, что уравнение  P(Q(x)) = Q(P(x))  не имеет действительных корней.
Докажите, что  b ≠ d .

Прислать комментарий     Решение

Задача 110155

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Теорема Виета ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Уравнение  xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110201

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + anx + bn  равно многочлену  P(x) = x2n + c1x2n–1 + c2x2n–2 + ... + c2n–1x + c2n,  где коэффициенты  c1, c2, ..., c2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты ak и bk положительны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32088

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Интерполяционный многочлен Лагранжа ]
[ Интерполяционный многочлен Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35154

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Вычисление производной ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что при умножении многочлена  (x + 1)n–1  на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .