ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



Задача 115497

Темы:   [ Индекс векторного поля ]
[ Обход графов ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109642

Темы:   [ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]
[ Произвольные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Мусин О.

Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (т.е. все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P .) Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из нее стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P . Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечетное число вершин.
Прислать комментарий     Решение


Задача 97794

Темы:   [ Топология ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97796

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Топология (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Правильный 4k-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее k прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4k-угольника равна a.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109953

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Связность. Связные множества ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Имеется квадрат клетчатой бумаги размером 102×102 клетки и связная фигура неизвестной формы, состоящая из 101 клетки. Какое наибольшее число таких фигур можно с гарантией вырезать из этого квадрата? Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .