ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      



Задача 109501

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Дано натуральное число N. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к  ,  воспользуемся следующим способом: найдем среди квадратов натуральных чисел число a², ближайшее к числу N; тогда a и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?

Решение

Пусть  m² ≤ N < (m + 1)² = m² + 2m + 1.  Мы выбираем  a = m,  если  Nm² + m,  и  a = m + 1  в противном случае. В первом случае  N < (m + ½)² = m² + m + ¼,  то есть
m < m + ½;  во втором случае  Nm² + m + 1 > (m + ½)²,  то есть  m + 1 > > m + ½.  В любом случае a – ближайшее к    натуральное число.

.

Ответ

Обязательно.

Прислать комментарий

Задача 61475

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $ \beta$, что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+
\sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$.


Прислать комментарий

Задача 77972

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

Решение

Пусть a = $ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}_{n-1}^{}\,$. Тогда $ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}_{n}^{}\,$ = $ \sqrt{2+a}$. Таким образом, требуется доказать, что

$\displaystyle {\frac{2-\sqrt{2+a}}{2-a}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

Индукцией по n легко доказать, что a < 2. Поэтому следующие неравенства эквивалентны требуемому:

8 - 4$\displaystyle \sqrt{2+a}$ > 2 - a,
6 + a > 4$\displaystyle \sqrt{2+a}$.

После возведения в квадрат получаем неравенство 36 + 12a + a2 > 32 + 16a, т.е. (a - 2)2 > 0.
Прислать комментарий

Задача 78517

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Итерации ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение   = m.

Решение

  Решим в целых числах более общее уравнение  Ay(x) = z,  где  Ay(x) = .  Очевидно,   x + Ay–1(x) = z²,  или  Ay–1(x) = z² – x.
  Таким образом, если число  Ay(x) = z  – целое, то и число  Ay–1(x) = (z² – x)  – целое; но тогда и число  Ay–2(x) = (z² – x)² – x)  – тоже целое, и  Ay–3  – целое, ..., и
A1(x) =   – целое. Следовательно,  x = t²  – целое (где t – целое).
  С другой стороны, для любого целого t  (t², 1, t)  – решение нашего уравнения.
  Пусть  y > 1.  При этом числа  A1(x) = = t  и  A2(x) = = =   должны быть целыми. Но числа t и  t + 1  – взаимно просты, откуда следует, что t и  t + 1  – полные квадраты, то есть  t = 0.  Значит,  x = 0  и  Ay(x) = 0  при любом y.

Ответ

(0, 0).

Прислать комментарий

Задача 61486

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.

Решение

Воспользуемся методом задачи 11.36. Выбирая всевозможные комбинации знаков при числах $ \sqrt{2}$ и $ \sqrt{3}$, получим равенства

$\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ + rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ = (1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn + qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ - sn$\displaystyle \sqrt{6}$,
$\displaystyle \lambda_{4}^{n}$ = (1 - $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$)n = pn - qn$\displaystyle \sqrt{2}$ - rn$\displaystyle \sqrt{3}$ + sn$\displaystyle \sqrt{6}$.

Складывая эти равенства с коэффициентами (1, 1, 1, 1), (1, - 1, 1, - 1), (1, 1, - 1, - 1), (1, - 1, - 1, 1), находим

pn = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{4}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
qn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt2}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
rn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt3}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$),
     
sn = $\displaystyle {\dfrac{1}{4\sqrt6}}$ ($\displaystyle \lambda_{1}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{2}^{n}$ - $\displaystyle \lambda_{3}^{n}$ + $\displaystyle \lambda_{4}^{n}$).

Отсюда $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$ = $ \sqrt{2}$, $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$ = $ \sqrt{3}$, $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$ = $ \sqrt{6}$.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .