ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 206]      



Задача 65162

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

а) В таблицу 2×n (где  n > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 10×10 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65166

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

а) В таблицу 2×n (где  n > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 100×100 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73606

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

  а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
  б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73615

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В таблице размерами m×n расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто k наибольших чисел  (k ≤ m),  в каждой строке – l наибольших чисел  (l ≤ n).  Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73708

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 206]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .