ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 202]      



Задача 78100

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении. Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64633

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку – не больше одной. Докажите, что у Васи есть способ поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65124

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Дано натуральное число  n ≥ 2.  Рассмотрим все такие покраски клеток доски n×n в k цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65205

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида    было выполнено равенство  |ad – bc| = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65399

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

а) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.

б) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 202]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .