Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 215]

Задача 97826

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Болтянский В.

Рассматриваются 4(N – 1) граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные 4(N – 1) целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи:
а) N = 3;
б) N = 4;
в) N = 5.

Решение

а), в) На рисунках 1а, 1б приведены соответствующие расстановки.

б) Мы имеем ровно четыре прямоугольника: две диагонали и два "настоящих" прямоугольника; следовательно, сумма всех 12 расставленных чисел делится на 4. Предположим, что мы расставили числа от N – 5 до N + 6. Их сумма 12N + 6 не делится на 4. Противоречие.

Ответ

а), в) Возможно; б) невозможно.

Прислать комментарий

Задача 98197

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Фольклор

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

Решение

Оценка. Сумма чисел трёх первых столбцов не меньше суммы первых 15 натуральных чисел, то есть не меньше 120.
Прибавим ко всем числам первого столбца по двойке, а ко всем числам второго – по единице. При этом числа в каждой строке будут идти в неубывающем порядке, поэтому сумма чисел в третьем столбце будет не меньше, чем в каждом из двух первых, то есть не меньше (120 + 5 + 10) : 3 = 45.
Пример расположения чисел, при котором сумма среднего столбца равна 45:

Аналогичное рассуждение даёт максимальную сумму 85 (рассматривается наибольшая возможная сумма чисел трёх последних столбцов).

Ответ

Наименьшее – 45, наибольшее – 85.

Прислать комментарий

Задача 98212

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Савин А.П.

В таблице
0 1 2 3 ... 9
9 0 1 2 ... 8
8 9 0 1 ... 7
...
1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

Решение

Пусть в i-й строке отмечено число с номером k_i. Тогда сумма этих чисел по модулю 10 равна (k₁ – 1) + (k₂ – 2) + ... + (k₁₀ – 10) = 55 – 55 = 0 ≠ 45 (mod 10). Поэтому она не может быть суммой чисел от 0 до 9.

Прислать комментарий

Задача 98495

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Клепцын В.А.

Дана таблица n×n, в каждой её клетке записано число, причём все числа различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа.

Решение

Наименьшее число во всей таблице, очевидно, было отмечено оба раза. По условию ни одно из чисел, стоящих с ним в одной строке (одном столбце), не было отмечено ни разу. Поэтому оба раза было также отмечено наименьшее число в таблице, полученной из данной вычеркиванием этих строки и столбца. И так далее.

Прислать комментарий

Задача 109019

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из таблицы

выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

Решение

Представим нашу таблицу как сумму двух таблиц:

Выбранные числа также "распадутся" в суммы соответствующих чисел в этих двух таблицах. При этом в первой таблице сумма соответствующих чисел равна 0 + a + 2a + ... +(a – 1)a = ½ a²(a – 1) (так как числа расположены по одному в каждой строке), а во второй – 1 + 2 + ... + a = ½ a(a + 1) (так как числа расположены по одному в каждом столбце). Общая же сумма равна ½ a²(a – 1) + ½ a(a + 1) = ½ a(a² + 1).

Ответ

½ a(a² + 1).

Прислать комментарий

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 215]