ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 107]      



Задача 98188

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Рубин А.

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Решение

Пусть турнир шёл в шесть кругов, C выиграл четыре партии (три у B и одну у A) и проиграл пять, B выиграл три (все у C) и проиграл три, A выиграл две (у C) и проиграл одну. Тогда A набрал 6,5 очков, B – 6, а C – 5,5.

Ответ

Может.

Прислать комментарий

Задача 104093

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

20 шахматистов сыграли турнир в один круг. Корреспондент "Спортивной газеты" написал в своей заметке, что каждый участник этого турнира выиграл столько же партий, сколько и свёл вничью. Докажите, что корреспондент ошибся.

Решение

Будем давать за победу два очка, за ничью – одно, за поражение – ноль. Если журналист прав, тогда число очков, набранных каждым участником, кратно 3. Но всего в турнире разыгрывается 20·19 очков, а это число на 3 не делится.

Прислать комментарий

Задача 105052

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных две партии: одну белыми фигурами, другую – чёрными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.

Решение

  Всего в турнире разыгрывалось  n(n – 1)  очков. Поэтому каждый участник набрал  n – 1  очко. Каждый шахматист сыграл белыми  n – 1  партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ...,  n – 1.  Предположим, что все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до  n – 1.
  Рассмотрим двух участников турнира: A, выигравшего  n – 1  партию белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Каким мог быть результат партии, которую A играл против B чёрными? С одной стороны, A набрал  n – 1  очко, играя белыми, так что все свои партии чёрными, в том числе и эту, он проиграл. Но B не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 109502

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Средние величины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?

Решение

  Каждая команда сыграла 15 игр и поэтому могла набрать самое большее  15·3 = 45  очков. Значит, команда успешная, если у неё не меньше 23 очков.
  Но одна из команд набрала не больше среднего возможного числа очков. А даже если все встречи были результативными, среднее равно
15·1.5 = 22,5.
  Покажем, что в чемпионате могло быть 15 успешных команд. Пронумеруем команды. Пусть команда номер 16 проигрывает всем остальным. Расположим номера остальных команд (числа от 1 до 15) по кругу. Пусть каждая из этих команд выиграет у следующих по кругу семи команд (а остальным проиграет). Тогда 15 команд выиграют по 8 игр и наберут по 24 очка.

Ответ

15 команд.

Прислать комментарий

Задача 110185

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Решение

  В турнире разыграно не менее  1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15  очков, а поскольку за игру команды в сумме набирали не более трёх очков, то сыграно не менее пяти игр. Но пять игр не могло произойти, поскольку тогда все игры закончились чьей-либо победой, и не будет команды, набравшей одно очко.
  За шесть игр это могло случиться: например, команды A и B, B и E, D и E сыграли вничью, а C, D, E выиграли у A.

Ответ

6 игр.

Прислать комментарий

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 107]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .