ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 109]      



Задача 116856

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Десять футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному разу. В результате у каждой команды оказалось ровно по х очков.
Каково наибольшее возможное значение х? (Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0.)

Решение

  Оценка. В каждом матче разыграно либо 3, либо 2 очка. Всего было сыграно  10·9 : 2 = 45  матчей, значит, разыграно не более, чем 135 очков. Таким образом,  10х ≤ 135,  то есть  х ≤ 13,5.  Так как х – целое число, то х ≤ 13.
  Пример. Расположим команды по кругу и разобьём их последовательно на 5 пар. Пусть команды каждой пары сыграли между собой вничью, каждая из них выиграла у четырёх команд, следующих за данной парой по часовой стрелке, а остальным командам проиграла. Тогда каждая команда набрала ровно 13 очков.

Ответ

13.

Прислать комментарий

Задача 35499

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

Подсказка

Оцените количество очков, которые набрали первые несколько команд и последние несколько команд.

Решение

  Оценка. Разделим команды на две группы – в первую группу включим команды, занявшие первые k мест, а во вторую – команды, занявшие последние
m = n – k  мест. Первые k команд набрали k(k – 1) очков во встречах друг с другом. Кроме этого первые k команд набрали не более 2km очков против последних m команд. Таким образом, первые k команд вместе набрали не более  k(k – 1) + 2km  очков. Следовательно, команда, занявшая k-е место, набрала не более  1/k (k(k – 1) + 2km) = k + 2m – 1 = n + m – 1 очка.
  Команды, занявшие последние m мест, набрали вместе не менее  m(m – 1)  очков (во встречах друг с другом), поэтому команда, занявшая (k+1)-е место (то есть m-е место с конца), набрала не менее  1/m (m(m – 1)) = m – 1  очка. Таким образом, разрыв между k-м и (k+1)-м местами составляет не более
(n + m – 1) – (m – 1) = n  очков.
  Пример. Пусть одна команда выиграла у всех (и набрала тем самым  2(n – 1)  очков), а остальные команды сыграли друг с другом вничью (и получили по
n – 2  очка). Тогда разрыв между первым и вторым местом составляет n очков.

Ответ

n очков.

Прислать комментарий

Задача 64384

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7

Автор: Фольклор

В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.)

Решение

  Пусть в турнире участвовали n мастеров и k гроссмейстеров. Поскольку каждый мастер набрал половину своих очков в матчах с мастерами, то количество очков, набранных мастерами в матчах с гроссмейстерами, равно количеству очков, набранных мастерами в матчах между собой, то есть
½ n(n – 1).
  Аналогично количество очков, набранных гроссмейстерами в матчах с мастерами, равно количеству очков, набранных гроссмейстерами в матчах между собой, то есть  ½ k(k – 1).
  Сумма очков, набранных мастерами в матчах с гроссмейстерами, и очков, набранных гроссмейстерами в матчах с мастерами, равна количеству матчей между гроссмейстерами и мастерами, то есть nk.
  Таким образом,  k(k – 1) + n(n – 1) = 2nk,  то есть  k² – k + n² – n = 2nk, откуда  n + k = (kn)².

Прислать комментарий

Задача 64487

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0).

Решение

  Оценка. После шестого тура разыграно 30 очков и у лидера – не более 6 очков, а остальные девять участников в сумме набрали не менее 24 очков. Следовательно, среди них найдётся хотя бы один, у которого не менее 3 очков. Так как впереди еще 3 тура, то победитель пока неизвестен.
  Пример. Пусть в первых семи турах лидер все свои партии выиграл, а остальные партии закончились вничью. Тогда у двух шахматистов, ещё не игравших с лидером, по 3,5 очка, а у других – по 3. Так как до конца турнира осталось 2 тура, то победитель уже определён.

Ответ

Через 7 туров.

Прислать комментарий

Задача 65059

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причём каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. Известно, что каждые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

Решение

  Оценка. Ясно, что максимум одна команда все свои 7 матчей сыграла вничью. Докажем, что ровно по 6 ничьих может быть не более, чем у двух команд. Действительно, любая такая команда набрала либо 6, либо 9 очков (в зависимости от того, выиграла или проиграла она свой результативный матч). Если таких команд три, то у двух из них поровну очков, значит, между собой они сыграли не вничью; этого не может быть, ибо они обе либо не выигрывали, либо не проигрывали ни одного матча. Таким образом, общее число ничьих не превосходит
(7 + 2·6 + 5·5) : 2 = 22.
  Пример на 22 ничьих показан в таблице:

Ответ

22 ничьих.

Прислать комментарий

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 109]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .