ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Текстовые задачи
>>
Таблицы и турниры
>>
Турниры и турнирные таблицы
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 109]
Десять футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному разу. В результате у каждой команды оказалось ровно по х очков. Решение Оценка. В каждом матче разыграно либо 3, либо 2 очка. Всего было сыграно 10·9 : 2 = 45 матчей, значит, разыграно не более, чем 135 очков. Таким образом, 10х ≤ 135, то есть х ≤ 13,5. Так как х – целое число, то х ≤ 13. Ответ13.
В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места? ПодсказкаОцените количество очков, которые набрали первые несколько команд и последние несколько команд. Решение Оценка. Разделим команды на две группы – в первую группу включим команды, занявшие первые k мест, а во вторую – команды, занявшие последние Ответn очков.
В шахматном турнире участвовали гроссмейстеры и мастера. По окончании турнира оказалось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в матчах с мастерами. Докажите, что количество участников турнира является квадратом целого числа. (Каждый участник сыграл с каждым по одной партии, победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков.) Решение Пусть в турнире участвовали n мастеров и k
гроссмейстеров. Поскольку каждый мастер набрал половину своих
очков в матчах с мастерами, то количество очков, набранных мастерами в матчах с гроссмейстерами, равно количеству очков, набранных мастерами в матчах между собой, то есть
В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Решение Оценка. После шестого тура разыграно 30 очков и у лидера – не более 6 очков, а остальные девять участников в сумме набрали не менее 24 очков. Следовательно, среди них найдётся хотя бы один, у которого не менее 3 очков. Так как впереди еще 3 тура, то победитель пока неизвестен. ОтветЧерез 7 туров.
В футбольном турнире участвовало 8 команд, причём каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. Известно, что каждые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.) Решение Оценка. Ясно, что максимум одна команда все свои 7 матчей сыграла вничью. Докажем, что ровно по 6 ничьих может быть не более, чем у двух команд. Действительно, любая такая команда набрала либо 6, либо 9 очков (в зависимости от того, выиграла или проиграла она свой результативный матч). Если таких команд три, то у двух из них поровну очков, значит, между собой они сыграли не вничью; этого не может быть, ибо они обе либо не выигрывали, либо не проигрывали ни одного матча. Таким образом, общее число ничьих не превосходит Ответ22 ничьих.
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 109] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|