ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 417]
109 яблок разложены по пакетам. В некоторых пакетах лежит по x яблок, в других – по три яблока. РешениеЕсли бы в каждом пакете было по 3 яблока, то всего яблок было бы 60. Но яблок на 49 больше, значит, "лишние" яблоки надо распределить поровну по некоторым пакетам. Так как 49 = 7·7 = 49·1 и всего пакетов – 20, то либо в 7 пакетах содержится по 7 "лишних" яблок, либо в одном – 49 "лишних". В первом случае x = 10, во втором – x = 52. Ответ10 или 52.
Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11. РешениеУ чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих делителей, поэтому если число делится на каждое из них, то оно делится и на их произведение. То есть искомое число делится на 2·5·9·11 = 990. Выпишем все четырёхзначные числа, которые делятся на 990: 1980, 2970, 3960, 4950, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900. Наибольшее из них равно 9900, но у него есть совпадающие цифры. А наибольшее, у которого все цифры различны – это 8910. Ответ8910.
Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007? РешениеЗаметим, что 2007 = 3²·223. Поэтому число 200720072007...2007 (число 2007 повторяется 223 раза) удовлетворяет условию задачи. ОтветСуществует.
Делится ли число 2110 – 1 на 2200? РешениеПервый способ.2110 – 1 = (215 – 1)(215 + 1) = (21 – 1)(214 + 213 + 212 + 21 + 1)(21 + 1)(214 – 213 + 212 – 21 + 1) = = 20·22·(214 + 21³ + 21² + 21 + 1)(214 – 21³ + 21² – 21 + 1). Заметим, что сумма 214 + 21³ + 21² + 21 + 1 делится на 5, так как она оканчивается цифрой 5. Следовательно, полученное произведение делится на 22·20·5 = 2200. Второй способ. 2200 = 8·25·11. Достаточно доказать, что 2110 – 1 делится на 11, 8 и 25. 2110 – 1 ≡ (–1)10 – 1 = 0 (mod 11). 2110 – 1 ≡ (–3)10 – 1 = 95 – 1 ≡ 15 – 1 = 0 (mod 8). 2110 – 1 ≡ (–4)10 – 1 = 220 – 1 = 1024² – 1 ≡ (–1)² – 1 = 0 (mod 25). ОтветДа.
Целые числа a и b таковы, что 56a = 65b. Докажите, что   a + b – составное число. ПодсказкаВыразите a + b через a. Решение65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a. Так как числа 65 и 121 взаимно просты, то a + b делится на 121. Поскольку 121 – составное число, то и a + b – составное.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 417] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|