Фильтр
Задачи
Задача 64996 |
|
|
Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?
Решение
Пусть С(a1, ..., ak) – среднее арифметическое чисел (a1, ..., ak). Заметим, что добавление к набору числа, отличного от его среднего арифметического, меняет исходное среднее арифметическое набора.
Предположим, что (a, b, c, d) – удовлетворяющий условию набор из четырёх чисел, и С(a, b, c, d) = С(a, b, c) = С. Тогда d = С.
Набор из двух разных числа с тем же средним арифметическим не может содержать число d. Если же это, например, числа a и b, то c = C = d, что противоречит условию.
Следовательно, удовлетворяющего условию набора из четырёх чисел не существует.
Пример набора из пяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Действительно,
С(2, 4) = С(2, 3, 4) = С(1, 2, 4, 5) = 3.
Ответ
5 чисел.
|
|
Задача 65076 |
|
|
Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: p1 = 2, p2 = 3, ... .
Может ли среднее арифметическое при каком-нибудь n ≥ 2 быть простым числом?
Решение
Пусть p1 + ... + pn = nq (*), где q – простое число. Поскольку n > 1, то q > 2. Поэтому при чётном n левая часть равенства (*) нечётна, а правая – чётна, при нечётном n – наоборот. Противоречие.
Ответ
Не может.
|
|
|
Задача 65502 |
|
|
На доске записаны семь различных нечётных чисел. Таня подсчитала их среднее арифметическое, а Даня упорядочил эти числа по возрастанию и выбрал из них число, оказавшееся посередине. Если из Таниного числа вычесть Данино, то получится число 3/7. Не ошибся ли кто-нибудь из них?
Решение
Пусть на доске записаны числа a < b < c < d < e < f < g. Тогда Танино число равно 1/7 (a + b + c + d + e + f + g), а Данино число – это d. Из условия следует, что 1/7 (a + b + c + d + e + f + g) – d = 3/7, то есть a + b + c + e + f + g = 6d + 3. В левой части полученного равенства стоит сумма шести нечётных слагаемых, которая чётна, а в правой части стоит нечётное число. Таким образом, это равенство выполняться не может, значит, Таней или Даней допущена ошибка.
Ответ
Ошибся.
|
|
|
Задача 65765 |
|
|
Городской муниципалитет Затонска принял правило: отопление в домах следует включать не раньше 26 октября, но только если средняя температура в течение трёх предыдущих дней ниже 8°C. В городе два района – Прибрежный и Заречный.
В Прибрежном районе правило поняли так: если три дня подряд средняя дневная температура каждый день ниже 8°C, то на четвёртый день нужно включить отопление, если этот день случился 26 октября или позже.
В Заречном районе правило поняли иначе: если средняя температура за трёхдневный период ниже 8°C, то на четвёртый день нужно включить отопление, если этот день не раньше 26 октября.
В таблице показана средняя дневная температура за несколько дней октября.
б) Докажите, что какие бы ни случились дни в октябре, в Заречном районе отопление включат не позже, чем в Прибрежном.
Решение
а) В Заречном районе вычисляют среднюю температуру за трёхдневный период. В период 23-25 октября средняя температура 8,33°C, поэтому 26 октября отопление включать нельзя. Зато за период с 24 по 26 октября средняя температура ниже 8°C, значит, отопление нужно включить 27 октября.
В Прибрежном районе не вычисляют среднюю температуру за три дня, а смотрят на температуру в каждый отдельный день. Первый раз три дня подряд средняя дневная температура ниже 8°C случилась 25, 26 и 27 октября. Значит, в Прибрежном районе тепло дадут только 28 октября.
б) Если три дня подряд средняя дневная температура за каждый день ниже пороговой 8°C, то средняя за все три дня также ниже. Обратное неверно, поэтому в Прибрежном районе отопление включат не раньше, чем в Заречном, а возможно – позже.
Ответ
а) В Заречном районе 27 октября, в Прибрежном – 28 октября.
|
|
|
Задача 65782 |
|
|
ЕГЭ по математике в волшебной стране Оз устроено следующим образом. Каждую работу независимо друг от друга проверяют три преподавателя, и каждый ставит за каждую задачу 0 или 1 балл. Затем компьютер находит среднее арифметическое оценок за эту задачу и округляет его до ближайшего целого. Затем баллы, полученные за все задачи, суммируются. Случилось так, что в одной из работ каждый из трёх экспертов поставил по 1 баллу за 3 задачи и 0 баллов за все прочие задачи. Найдите наибольший возможный суммарный балл за эту работу.
Решение
Легко предъявить случай, когда получается 4 балла. Чтобы было 5 или больше, должно всего стоять не менее 10 единиц, а всего преподаватели поставили 9 единиц. Значит, получить 5 невозможно.
Ответ
4 балла.
|
|
|
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 168]
