ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78666

Темы:   [ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число m получается из числа n вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и m, и n принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 — обязательно принадлежат одному классу)?
Прислать комментарий     Решение


Задача 32099

Темы:   [ Раскраски ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

На плоскости нарисовано некоторое количество равносторонних треугольников. Они не пересекаются, но могут иметь общие участки сторон. Мы хотим покрасить каждый треугольник в какой-нибудь цвет так, чтобы те из них, которые соприкасаются, были покрашены в разные цвета (треугольники, имеющие одну общую точку, могут быть покрашены в один цвет). Хватит ли для такой раскраски двух цветов?

Прислать комментарий     Решение


Задача 98098

Темы:   [ Окружности на сфере ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На сфере отмечено 5 точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109702

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Процессы и операции ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий     Решение

Задача 30760

Темы:   [ Инварианты ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа +1 и -1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят +1. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число -1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6;

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .