ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Материалы по этой теме:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 605]      



Задача 97862

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).
Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Решение

В каждый момент два кузнечика меняют свое "взаимное положение" (если до прыжка слева был один, справа другой, то после прыжка – наоборот). Чтобы вернуться на свои места, каждые два кузнечика должны поменять взаимное положение чётное число раз. Но сумма трёх чётных чисел не может равняться 1985.

Прислать комментарий

Задача 98021

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Автор: Фольклор

Три бегуна – X, Y и Z – участвуют в забеге. Z задержался на старте и выбежал последним, а Y выбежал вторым. Z во время забега менялся местами с другими участниками 6 раз, а X – 5 раз. Известно, что Y финишировал раньше X. В каком порядке они финишировали?

Решение

Бегун X, бежавший первым, нечётное число раз менялся местами с другими бегунами, значит, он прибежал вторым. А поскольку Y прибежал раньше X, то он был на финише первым, а Z – третьим.

Ответ

Y – первый, X – второй, Z – третий.

Прислать комментарий

Задача 98250

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
[ Композиция центральных симметрий ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то  AB = BA1).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

Решение

Пусть кузнечики сидят на координатной оси в точках –1, 0, 1. Заметим, что в результате каждого прыжка координата кузнечика остаётся целой. Кроме того, кузнечик при прыжке перемещается всегда на чётное расстояние. Отсюда следует, что если координата кузнечика вначале была чётной, то она и всегда останется чётной. Следовательно, через некоторое время средний кузнечик вернулся на своё начальное место – в точку 0.

Прислать комментарий

Задача 98326

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Степень вершины ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

При каком  n > 1  может случиться так, что в компании из  n + 1  девочек и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек?

Решение

  Девочка может быть знакома с  0, 1, ..., n  мальчиками. Поскольку девочек  n + 1  и вариантов  n + 1,  то все эти варианты реализуются. При этом общее число пар знакомых равно  (0 + 1 + ... + n) = n(n+1)/2,  поэтому каждый мальчик знаком с (n+1)/2  девочками. Значит, n нечётно.
  При любом нечётном  n = 2m + 1  можно осуществить требуемые знакомства: разобьём девочек на пары (всего  m + 1  пара); первую девочку k-й пары
(k = 0, 1, ..., m)  познакомим с k мальчиками, вторую – с остальными  n – k  мальчиками. При этом каждый мальчик знаком ровно с одной девочкой из каждой пары.

Ответ

При любом нечётном  n > 1.

Прислать комментарий

Задача 98460

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

При каких  n > 2  можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

Решение

Так же, как в решении задачи 98454, доказываем, что чётных чисел не более одного. Поэтому всего чисел не более трёх. Числа 1, 2, 3 можно поставить в любом порядке.

Ответ

Только при  n = 3.

Прислать комментарий

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 605]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .