ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Материалы по этой теме:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 627]
Можно ли расставить числа Решениеа) См. рис. б) Заметим, что нечётное число не делится на чётное, а значит, не может стоять в окружении чисел одинаковой чётности. Отсюда следует, что нечётные числа стоят парами. Однако среди чисел 1, 2, ..., 9 нечётных чисел пять, и поэтому из них нельзя образовать пары. Ответа) Можно; б) нельзя.
Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью? РешениеСм. задачу 87972 б). ОтветНельзя.
На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он
прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу). РешениеВ каждый момент два кузнечика меняют свое "взаимное положение" (если до прыжка слева был один, справа другой, то после прыжка – наоборот). Чтобы вернуться на свои места, каждые два кузнечика должны поменять взаимное положение чётное число раз. Но сумма трёх чётных чисел не может равняться 1985.
Три бегуна – X, Y и Z – участвуют в забеге. Z задержался на старте и выбежал последним, а Y выбежал вторым. Z во время забега менялся местами с другими участниками 6 раз, а X – 5 раз. Известно, что Y финишировал раньше X. В каком порядке они финишировали? РешениеБегун X, бежавший первым, нечётное число раз менялся местами с другими бегунами, значит, он прибежал вторым. А поскольку Y прибежал раньше X, то он был на финише первым, а Z – третьим. ОтветY – первый, X – второй, Z – третий.
Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то AB = BA1). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики. РешениеПусть кузнечики сидят на координатной оси в точках –1, 0, 1. Заметим, что в результате каждого прыжка координата кузнечика остаётся целой. Кроме того, кузнечик при прыжке перемещается всегда на чётное расстояние. Отсюда следует, что если координата кузнечика вначале была чётной, то она и всегда останется чётной. Следовательно, через некоторое время средний кузнечик вернулся на своё начальное место – в точку 0.
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 627] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|