ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 77]      



Задача 98607

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.
Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109804

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Последовательность неотрицательных рациональных чисел a1, a2, a3, ... удовлетворяет соотношению  am + an = amn  при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110036

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом     если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном  a0 > 5  в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64615

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66032

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2d?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 77]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .