ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 117]      



Задача 64344

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Доказательство от противного ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (x – a)(x – b) = x – c,  (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b  имеют решение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64553

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 3+

Для квадратного трёхчлена  f(x) и некоторых действительных чисел l, t и v выполнены равенства:  f(l) = t + vf(t) = l + vf(v) = l + t.
Докажите, что среди чисел l, t и v есть равные.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65128

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство  f(a² + b²) ≥ f(2ab).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65250

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65519

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Даны три квадратных трёхчлена:  x² + b1x + c1x² + b2x + c2  и  x² + ½ (b1 + b2)x + ½ (c1 + c2).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 117]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .