ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 117]      



Задача 98217

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Последовательность натуральных чисел  a1, a2, ..., an, ...  такова, что для каждого n уравнение  an+2x² + an+1x + an = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111850

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Даны числа a, b, c.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений  x² + (a – b)x + (b – c) = 0,  x² + (b – c)x + (c – a) = 0,  x² + (c – a)x + (a – b) = 0  имеет решение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115355

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Козлов П.

Целые числа a, b, c таковы, что значения квадратных трёхчленов  bx² + cx + a  и  cx² + ax + b  при  x = 1234  совпадают.
Может ли первый трёхчлен при  x = 1  принимать значение 2009?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115361

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Ненулевые числа a, b, c таковы, что  ax² + bx + c > cx  при любом x. Докажите, что  cx² – bx + a > cx – b  при любом x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115365

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Даны квадратные трёхчлены  x² + 2a1x + b1x² + 2a2x + b2x² + 2a3x + b3.  Известно, что  a1a2a3 = b1b2b3 > 1.
Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 117]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .