Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 114]
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в
точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$,
соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются
аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в
одной точке.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$.
Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$.
Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Даны прямая
l, окружность и точки
M,
N, лежащие
на окружности и не лежащие на прямой
l. Рассмотрим
отображение
P прямой
l на себя, являющееся композицией
проектирования прямой
l на данную окружность из точки
M
и проектирования окружности на прямую
l из точки
N.
(Если точка
X лежит на прямой
l, то
P(
X) есть пересечение
прямой
NY с прямой
l, где
Y — отличная от
M точка
пересечения прямой
MX с данной окружностью.) Докажите,
что преобразование
P проективно.
Даны прямая
l, окружность и точка
M, лежащая
на окружности и не лежащая на прямой
l. Пусть
PM —
проектирование прямой
l на данную окружность из точки
M
(точка
X прямой отображается в отличную от
M точку
пересечения прямой
XM с окружностью),
R — движение
плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости
вокруг центра окружности или симметрия относительно
диаметра). Докажите, что композиция
PM-1oRoPM является
проективным преобразованием.
|
|
Сложность: 6 Классы: 10,11
|
Докажите, что если плоскости
и
пересекаются,
то центральное проектирование
на
с центром
O задает
взаимно однозначное отображение плоскости
с выкинутой
прямой
l1 на плоскость
с выкинутой прямой
l2, где
l1
и
l2 — прямые пересечения плоскостей
и
соответственно с плоскостями, проходящими через
O и параллельными
и
. При этом на
l1 отображение не определено.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 114]