ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 58383

Тема:   [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В параллелограмме ABCD точки A1, B1, C1, D1 лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 четырехугольника A1B1C1D1 взяты соответственно точки A2, B2, C2, D2. Известно, что

$\displaystyle {\frac{AA_1}{BA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_1}{CB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_1}{DC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{DD_1}{AD_1}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1D_2}{D_1D_2}}$ = $\displaystyle {\frac{D_1C_2}{C_1C_2}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1B_2}{B_1B_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1A_2}{A_1A_2}}$.


Докажите, что A2B2C2D2 — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58384

Тема:   [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M1, N1 и P1 симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то SMNP = SM1N1P1.
б) если M1, N1 и P1 — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM1| BC, NN1| CA и  PP1| AB, то SMNP = SM1N1P1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58365

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов  e1, e2 — в данный базис  e1', e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58366

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58367

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .