ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 152]      



Задача 116464

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 2+
Классы: 5,6

Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, – фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.)

Решение

 Заметим, что три настоящие монеты также лежат подряд. Занумеруем монеты по кругу, например, двигаясь по часовой стрелке, числами от 1 до 7 (см. рис.).

  Предложим два способа взвешивания.

  Первый способ. На одну чашу весов положим монеты с номерами 1 и 2, а на другую – монеты с номерами 4 и 5. При таком взвешивании все четыре фальшивые монеты не могут оказаться на весах и при этом настоящих монет на весах – не более двух.
  Рассмотрим два случая.
  1) Одна из чаш легче. Тогда на ней обе монеты фальшивые.
  2) Весы находятся в равновесии. Тогда на каждой чаше весов – одна фальшивая монета и одна настоящая.
  Следовательно, монеты 6 и 7 – фальшивые.

  Второй способ. На одну чашу весов положим монету № 1, а на другую – монету № 4. Возможны три случая.
  1) Весы оказались в равновесии. Тогда обе монеты на чашах – фальшивые.
  2) Монета № 1 легче, чем монета № 4. Тогда монета № 1 – фальшивая, а №4 – настоящая. Значит, и монета 7 – также фальшивая.
  3) Монета № 1 тяжелее, чем монета № 4. Тогда монета № 1 – настоящая. Следовательно, монеты 4 и 5 – фальшивые.

Прислать комментарий

Задача 104083

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

На физическом кружке учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чаш перевесила. Пятнадцать учеников по очереди выходили из класса и забирали с собой по одной гирьке, причем после выхода каждого ученика весы меняли свое положение и перевешивала противоположная чаша весов. Какая гирька могла остаться на весах?

Решение

Поскольку в каждый момент времени массы на чашах весов отличались хотя бы на 1 грамм, то для того, чтобы перевесила противоположная чаша, необходимо забрать гирю массой не менее двух грамм. Следовательно, выходя из класса, ни один ученик не мог забрать гирю массой 1 грамм.

Ответ

На весах осталась гиря массой 1 грамм.
Прислать комментарий


Задача 109482

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 3-
Классы: 5,6,7,8

На столе в ряд лежат четыре монеты. Среди них обязательно есть как настоящие, так и фальшивые (которые легче настоящих). Известно, что любая настоящая монета лежит левее любой фальшивой. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить тип каждой монеты, лежащей на столе?

Решение

Пронумеруем монеты слева направо. Так как среди монет есть обязательно настоящая и фальшивая, то первая монета настоящая, а четвертая– фальшивая. Необходимо определить вид второй и третьей монет. Настоящие монеты лежат левее фальшивых, значит возможны следующие случаи: 1)настоящая, настоящая, настоящая, фальшивая; 2)настоящая, настоящая, фальшивая, фальшивая; 3)настоящая, фальшивая, фальшивая, фальшивая.
Положим на левую чашу весов первую и четвертую монеты, а на правую чашу весов– вторую и третью монеты.
1) Если правая чаша перевесила, то на ней лежат только настоящие монеты, т.е. вторая и третья монеты– настоящие.
2) Если весы находятся в равновесии, то на каждой чаше лежат настоящая и фальшивая монеты, т.е. вторая монета– настоящая, а третья– фальшивая.
3) Если левая чаша перевесила, то на правой чаше лежат только фальшивые монеты, т.е. вторая и третья монеты– фальшивые.

Ответ

Прислать комментарий


Задача 32819

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Фальшивомонетчик Вася изготовил четыре монеты достоинством 1, 3, 4, 7 квача, которые должны весить 1, 3, 4, 7 граммов соответственно. Но одну из этих монет он сделал некачественно – с неправильным весом. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить "неправильную" монету?

Решение

Сначала положим на одну чашу монеты в 1 квач и 3 квача, а на другую - монету в 4 квача; затем на одну чашу положим монеты в 3 квача и 4 квача, а на другую - монету в 7 квачей.
  Если при одном из взвешиваний весы показали равенство, то некачественная монета - та, которая в этом взвешивании не участвовала. Если при обоих взвешиваниях тяжелее оказалась одна и та же чаша весов, то некачественная монета - достоинством в 3 квача, иначе - достоинством в 4 квача.
Прислать комментарий


Задача 32820

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?

Решение

а) Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Затем возьмем более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее остальных.
  б) Разделим монеты на 3 кучки по 33 монеты и взвесим любые две из них. Если их массы равны, то сравним любую из них с третьей; если третья кучка легче, то и фальшивая монета легче остальных, иначе фальшивая монета тяжелее остальных.
Если же массы первых двух кучек различны, то взвесим более тяжелую из них с третьей. Если их массы окажутся равны, то фальшивая монета легче остальных, если же третья окажется легче, то фальшивая монета тяжелее остальных.
  в) Отложим сначала две монеты в сторону, а остальные разобьем на 2 части по 48 монет и взвесим их. Если их массы равны, то взвесим две отложенные монеты с любыми двумя другими; если отложенные монеты окажутся легче, то и фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее.
Если же массы первых двух кучек различны, то аналогично пункту а) разобьем более тяжелую на 2 части по 24 монеты и взвесим их. Если весы покажут равенство, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 152]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .