ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 152]
Семь монет расположены по кругу. Известно, что какие-то четыре из них, идущие подряд, – фальшивые и что каждая фальшивая монета легче настоящей. Объясните, как найти две фальшивые монеты за одно взвешивание на чашечных весах без гирь. (Все фальшивые монеты весят одинаково.) РешениеЗаметим, что три настоящие монеты также лежат подряд. Занумеруем монеты по кругу, например, двигаясь по часовой стрелке, числами от 1 до 7 (см. рис.). Предложим два способа взвешивания. Первый способ. На одну чашу весов положим монеты с номерами 1 и 2, а на другую – монеты с номерами 4 и 5. При таком взвешивании все четыре фальшивые монеты не могут оказаться на весах и при этом настоящих монет на весах – не более двух. Второй способ. На одну чашу весов положим монету № 1, а на другую – монету № 4. Возможны три случая.
РешениеПоскольку в каждый момент времени массы на чашах весов отличались хотя бы на 1 грамм, то для того, чтобы перевесила противоположная чаша, необходимо забрать гирю массой не менее двух грамм. Следовательно, выходя из класса, ни один ученик не мог забрать гирю массой 1 грамм.ОтветНа весах осталась гиря массой 1 грамм.
РешениеПронумеруем монеты слева направо. Так как среди монет есть обязательно настоящая и фальшивая, то первая монета настоящая, а четвертая– фальшивая. Необходимо определить вид второй и третьей монет. Настоящие монеты лежат левее фальшивых, значит возможны следующие случаи: 1)настоящая, настоящая, настоящая, фальшивая; 2)настоящая, настоящая, фальшивая, фальшивая; 3)настоящая, фальшивая, фальшивая, фальшивая.Положим на левую чашу весов первую и четвертую монеты, а на правую чашу весов– вторую и третью монеты. 1) Если правая чаша перевесила, то на ней лежат только настоящие монеты, т.е. вторая и третья монеты– настоящие. 2) Если весы находятся в равновесии, то на каждой чаше лежат настоящая и фальшивая монеты, т.е. вторая монета– настоящая, а третья– фальшивая. 3) Если левая чаша перевесила, то на правой чаше лежат только фальшивые монеты, т.е. вторая и третья монеты– фальшивые. Ответ
РешениеСначала положим на одну чашу монеты в 1 квач и 3 квача, а на другую - монету в 4 квача; затем на одну чашу положим монеты в 3 квача и 4 квача, а на другую - монету в 7 квачей.Если при одном из взвешиваний весы показали равенство, то некачественная монета - та, которая в этом взвешивании не участвовала. Если при обоих взвешиваниях тяжелее оказалась одна и та же чаша весов, то некачественная монета - достоинством в 3 квача, иначе - достоинством в 4 квача.
а) 100; б) 99; в) 98? Решениеа) Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Затем возьмем более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее остальных.б) Разделим монеты на 3 кучки по 33 монеты и взвесим любые две из них. Если их массы равны, то сравним любую из них с третьей; если третья кучка легче, то и фальшивая монета легче остальных, иначе фальшивая монета тяжелее остальных. Если же массы первых двух кучек различны, то взвесим более тяжелую из них с третьей. Если их массы окажутся равны, то фальшивая монета легче остальных, если же третья окажется легче, то фальшивая монета тяжелее остальных. в) Отложим сначала две монеты в сторону, а остальные разобьем на 2 части по 48 монет и взвесим их. Если их массы равны, то взвесим две отложенные монеты с любыми двумя другими; если отложенные монеты окажутся легче, то и фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее. Если же массы первых двух кучек различны, то аналогично пункту а) разобьем более тяжелую на 2 части по 24 монеты и взвесим их. Если весы покажут равенство, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 152] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|