ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 188]
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n. Решение Будем считать, что нам задана бесконечная последовательность цифр a1, a2, ..., ai, ..., записанная слева направо. Рассмотрим числа: am, am–1am, am–2am–1am, ..., a1a2...am (черта, как обычно, обозначает десятичную запись числа). Если m > n, то найдутся два числа am–i...am и am–j...am, где
Докажите, что Решениеа) Пусть n = 4k + 1. Возьмём n – 2 единицы и ещё два числа – 3 и 2k + 1. И сумма и произведение этих чисел равны 6k + 3. б) Пусть произведение некоторых n нечётных натуральных чисел равно их сумме. Пусть у r рассматриваемых чисел остаток от деления на 4 равен 1,
Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой a + 99b = c, нашлись два числа из одного подмножества. РешениеВыделим в i-е множество (1 ≤ i ≤ 99) все чётные числа, дающие при делении на 99 остаток i – 1, а в сотое множество – все нечётные числа. Очевидно, что среди любых чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению a + 99b = c, чётное количество нечётных. Если среди них два нечётных, то они из сотого множества, иначе a и c из одного множества, так как они чётные и дают одинаковые остатки от деления на 99.
Найдите все такие пары простых чисел p и q, что p³ – q5 = (p + q)². Решение Пусть ни одно из чисел p, q не делится на 3. Если остатки от деления p и q на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая – нет; если эти остатки не совпадают, то правая часть делится на 3, а левая – нет. Ответp = 7, q = 3.
Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n, n + 1, n + 2 и n + 3 делится на сумму своих цифр. (Например, n = 60398 – хорошее.) РешениеДопустим, что нашлось хорошее число n = a1...ak8, где a1, ..., ak – цифры, причём ak ≠ 9. Тогда n + 1 = a1...ak9, n + 3 = a1...ak–1bk1, где bk = ak + 1. Числа n + 1 и n + 3 нечётны, а суммы их цифр равны a1 + a2 + ... + ak + 9 и a1 + a2 + ... + ak + 2 соответственно. Эти суммы отличаются на 7, и потому одна из них чётна. Но чётное число не может быть делителем нечётного. Противоречие. ОтветОбязательно.
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 188] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|