ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 60609

Тема:   [ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Последовательности {ak} и {bk} строятся по следующему закону: a1 = 1,   an+1 = min(an, bn),  bn+1 = |bn – an|  (n ≥ 1).
  а) Докажите, что  an ≠ 0  и  an  стремится к 0 при  n → ∞.
  б) Докажите, что последовательность    имеет предел и найдите этот предел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60989

 [Алгоритм Евклида для многочленов]
Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A0(x), A1(x), ..., As(x)  и  R1(x), ..., Rs(x),  что  degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
    Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
    R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
      ...
    Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
    Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и  (P(x), Q(x)) = Rs(x).

Прислать комментарий     Решение

Задача 109683

Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

На доске написаны два различных натуральных числа a и b. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число    (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60597

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Как связано разложение рационального числа в цепную дробь с алгоритмом Евклида?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60488

 [Алгоритм Евклида]
Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

  а) Пусть m0 и m1 – целые числа,  0 < m1m0.  Докажите, что при некотором  k > 1  существуют такие целые числа a0, a1, ..., ak и m2, ..., mk, что
m1 > m2 > m3 > ... > mk > 0,  ak > 1,
  m0 = m1a0 + m2,
  m1 = m2a1 + m3,
  m2 = m3a2 + m4,
    ...
  mk–2 = mk–1ak–1 + mk,
  mk–1 = mkak,
и  (m0, m1) = mk.

  б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа us, vs, что   msus + ms+1vs = d,   где  d = (m0, m1).
  В частности, для некоторых u и v выполняется равенство  m0u + m1v = d.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .