ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 66590

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Пусть $p$ и $q$ – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке $0$, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в $0$. Докажите, что для любого натурального $d < p + q$ найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на $d$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 60599

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60622

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что при  k ≥ 1  выполняется равенство:   = [aFk; aFk–1, ..., aF0],   где {Fk} – последовательность чисел Фибоначчи.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60993

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность a0, a1, a2, ... задана условиями  a0 = 0,  an+1 = P(an)  (n ≥ 0),  где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,  P(x) > 0  при  x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k  (am, ak) = a(m, k).

Прислать комментарий     Решение

Задача 105153

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .