ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      



Задача 98002

Темы:   [ Симметричная стратегия ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Назаров Ф.

На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)

Решение

  Пусть первый каждый раз ходит на поле, центрально симметричное тому, на котором стоит фишка. Первым ходом он, очевидно, может это сделать. Докажем по индукции, что он может это делать всегда, а после каждого хода второго расстояние от фишки до центра O доски увеличивается.
  Шаг индукции. Пусть после какого-то хода первого фишка попала в точку K и  OK = r.  Значит, ранее все точки (центры полей), посещенные фишкой, лежали в круге радиуса r с центром O, а этим ходом первый переместил фишку на расстояние 2r. Второй (если он смог сделать ход) переместил фишку в некоторую точку M, причём  KM = 2R > 2r.  Следовательно,  OM > KM – OK = 2R – r > R > r.  Поэтому на симметричной точке M' фишка ещё не была, и первый может переместить фишку туда. При этом он передвинет её на расстояние  2OM > 2R.
  Игра закончится, так как число возможных значений расстояния от фишки до центра доски конечно. Поскольку первый всегда может сделать ход, то проиграет второй.

Прислать комментарий

Задача 102798

Темы:   [ Симметричная стратегия ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Двое пишут 2k-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи:   а)  k = 10;   б)  k = 15.

Решение

  Пусть заданное число  N = a1a2...a2k–1a2k,  где ai – одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры с нечётными номерами выбирает первый игрок (А), а цифры с чётными номерами – второй (В). Обозначим  Si = a1 + a2 + ... + ai.  Число N делится на 9 тогда и только тогда, когда S2k делится на 9.
  Пусть k делится на 3. Докажем, что в этом случае выигрывает игрок В. Для этого на любой ход a2i–1 игрока А он должен отвечать ходом  a2i = 6 − a2i–1.  При этом  S2i = 6i  при любом  i ≤ k,  в частности,  S2k = 6k  делится на 9.
  Пусть теперь k не делится на 3. Покажем, что тогда выигрывает игрок А. Для этого ему достаточно выбрать  a1 = 3,  а затем применить тактику В в первом случае, то есть на любой ход a2i игрока В отвечать ходом  a2i+1 = 6 − a2i.  При этом  S2k = 3 + 6(k − 1) + a2k = 6k − 3 + a2k.  Если  k = 3n + 1,  то
S2k = 18n + 3 + a2k  при делении на 9 дает остаток  3 + a2k ≤ 8.  Если же  k = 3n + 2,  то остаток от деления  S2k = 18n + 9 + a2k  на 9 равен  a2k ≠ 0.  В каждом из этих случаев число S2k не делится на 9.

Ответ

а) Может;  б) не может.

Прислать комментарий

Задача 110922

Темы:   [ Симметричная стратегия ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. И так игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?

Решение

Заметим, что выигрыш возможен только тогда, когда после очередного хода общее число палочек кратно 3. Пусть первого игрока зовут Петя, а второго – Вася. Тогда в первый раз выигрыш возможен после первого хода Васи, в следующий раз – после третьего хода Пети. Первым ходом Петя должен сломать палочку пополам. Как бы ни поделил одну из половинок Вася, треугольник из получившихся трёх палочек сложить нельзя, так как не выполняется неравенство треугольника (одна из сторон равна сумме двух других). Итак, после первого хода Пети образовалось две одинаковые кучки из одной палочки. Своим вторым и третьим ходом Петя должен "повторить ход" Васи на симметричной кучке. Таким образом, после третьего хода Пети перед ним лежат палочки длины a, b, c, a, b, c. Пусть  a ≥ b ≥ c .  Составим два равнобедренных треугольника: первый со сторонами a, a, c и второй со сторонами b, b, c.

Ответ

Первый игрок.

Прислать комментарий

Задача 66157

Тема:   [ Симметричная стратегия ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучи, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (при своём первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник?

Решение

  Укажем выигрышную стратегию для Ильи. Обозначим через A, B и C кучки, в которых изначально было 100, 101 и 102 камня соответственно. Первым ходом Илья берёт камень из кучки B. Далее возможны два случая.
  1) Своим первым ходом Костя возьмёт камень не из кучки B. Тогда Илья всегда будет повторять ход Кости, то есть брать камень из той же кучки, из которой только что брал камень Костя. Заметим, что, пока Илья действует по этой стратегии, после каждого его хода в каждой кучке остаётся чётное число камней. Свой второй ход Илья сможет сделать, так как Костя взял свой первый камень не из B. После этого каждым ходом Костя будет брать камень из кучки X, отличной от кучки Y, из которой только что взял Илья. Тогда в X останется нечётное число камней, и Илья сможет взять из X ещё один камень. Значит, действуя по этой стратегии, Илья всегда сможет сделать ход после хода Кости. Поскольку игра рано или поздно закончится, Костя проиграет.
  2) Своим первым ходом Костя возьмёт камень из кучки B. В этом случае Илья будет придерживаться следующей стратегии. Если каким-то ходом Костя возьмёт камень из кучки C, то Илья берёт камень оттуда же. Если же Костя возьмёт камень из кучки A или B, то Илья берёт камень из кучки B или A соответственно. Заметим, что, пока Илья действует по этой стратегии, после каждого его хода в C будет чётное число камней, а в A и B камней будет поровну.
  Покажем, что и в этом случае Илья всегда сможет сделать ход. Свой второй ход Илья сделать сможет (взяв камень из A). Если на очередном шаге ему нужно брать камень из кучки C, то до этого оттуда брал камень Костя, значит, на предыдущем ходу оба игрока не брали ничего из C. При этом после хода Кости там нечётное число камней, поэтому Илья может взять камень из C. Если же Илье нужно брать камень не из C, скажем, из A, то Костя только что взял камень из B (и, значит, в A ещё есть камень). Следовательно, на предыдущем шаге Костя не мог брать камень из B, поэтому Илья не брал камень из A, то есть он может взять камень оттуда.

Ответ

Илья.

Прислать комментарий

Задача 105123

Темы:   [ Симметричная стратегия ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Обход графов ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение

  Пусть первый поставил на доску первую шашку. Заметим, что от перестановки горизонталей доски ничего не изменяется. То же относится и к перестановке вертикалей. Поэтому будем считать, что второму игроку дополнительно разрешается менять местами любые горизонтали и вертикали.
  После первого хода первого игрока второй игрок переставит горизонтали и вертикали так, чтобы первая шашка оказалась в средней вертикали, но не в центре доски.
Далее он делает ходы симметрично ходам первого игрока относительно центра доски. В частности, вторая шашка тоже окажется в средней вертикали, и первый не сможет занять центральную клетку. Легко проверить, что второй всегда сможет сделать симметричный ход (отдельно следует рассмотреть случай хода в среднюю горизонталь).

Ответ

Второй.

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .