ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Теория алгоритмов
>>
Теория игр
>>
Симметричная стратегия
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]
На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.) Решение Пусть первый каждый раз ходит на поле, центрально симметричное тому, на котором стоит фишка. Первым ходом он, очевидно, может это сделать. Докажем по индукции, что он может это делать всегда, а после каждого хода второго расстояние от фишки до центра O доски увеличивается.
Двое пишут 2k-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи: а) k = 10; б) k = 15. Решение Пусть заданное число N = a1a2...a2k–1a2k, где ai – одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры с нечётными номерами выбирает первый игрок (А), а цифры с чётными номерами – второй (В). Обозначим Si = a1 + a2 + ... + ai. Число N делится на 9 тогда и только тогда, когда S2k делится на 9. Ответа) Может; б) не может.
Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. И так игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока? РешениеЗаметим, что выигрыш возможен только тогда, когда после очередного хода общее число палочек кратно 3. Пусть первого игрока зовут Петя, а второго – Вася. Тогда в первый раз выигрыш возможен после первого хода Васи, в следующий раз – после третьего хода Пети. Первым ходом Петя должен сломать палочку пополам. Как бы ни поделил одну из половинок Вася, треугольник из получившихся трёх палочек сложить нельзя, так как не выполняется неравенство треугольника (одна из сторон равна сумме двух других). Итак, после первого хода Пети образовалось две одинаковые кучки из одной палочки. Своим вторым и третьим ходом Петя должен "повторить ход" Васи на симметричной кучке. Таким образом, после третьего хода Пети перед ним лежат палочки длины a, b, c, a, b, c. Пусть a ≥ b ≥ c . Составим два равнобедренных треугольника: первый со сторонами a, a, c и второй со сторонами b, b, c. ОтветПервый игрок.
Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучи, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (при своём первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник? Решение Укажем выигрышную стратегию для Ильи. Обозначим через A, B и C кучки, в которых изначально было 100, 101 и 102 камня соответственно. Первым ходом Илья берёт камень из кучки B. Далее возможны два случая. ОтветИлья.
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре? Решение Пусть первый поставил на доску первую шашку. Заметим, что от перестановки горизонталей доски ничего не изменяется. То же относится и к
перестановке вертикалей. Поэтому будем считать, что второму игроку дополнительно
разрешается менять местами любые горизонтали и вертикали. ОтветВторой.
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|