ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 147]      



Задача 79470

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В центре квадрата сидит заяц, а в каждом из четырёх углов по одному волку. Может ли заяц выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза большей, чем максимальная скорость зайца?

Решение

Ответ: может.
Для этого заяц должен придерживаться такой стратегии. Сначала он выбирает произвольную вершину A квадрата и бежит к ней по диагонали с максимальной скоростью до тех пор, пока не окажется от A на расстоянии, меньшем $ {\frac{1}{2}}$($ \sqrt{2}$ − 1,4) (например, на расстоянии 0,005; сторону квадрата полагаем равной 1). Затем он, не меняя скорости, сворачивает на 90o и движется перпендикулярно диагонали к той стороне квадрата, на которой находится только один волк (если в рассматриваемый момент в A находится волк, то заяц сворачивает на 90o в произвольную сторону; Нетрудно видеть, что в момент, когда заяц пересечёт сторону квадрата, ни один волк не сможет оказаться в той же точке этой стороны.
Замечание. Если скорость волка в $ \sqrt{2}$ раз больше скорости зайца, то волки уже ловят зайца: они в каждый момент оказываются в концах "креста" с центром "заяц", отрезки которого параллельны диагоналям квадрата.
Прислать комментарий


Задача 105218

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, первоначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо от ходов другого?

Решение

Пусть Алиса независимо от действий Базилио берет первым ходом 1 монету, вторым --2, третьим --3 и т.д., увеличивая каждый раз количество взятых монет на 1. Это не противоречит правилам, так как при такой игре Алисы Базилио сможет первым ходом взять 1 или 2 монеты, вторым --2 или 3 и т.д. Тогда после k-го хода Алисы игроки возьмут монет не менее

(1 + 2 + ... + k) + (1 + 2 + ... + (k - 1)) = k2

и не более

(1 + 2 + ... + k) + (2 + 3 + ... + k) = k(k + 1) - 1.

Так как 36 . 37 - 1 = 1331, то монет в любом случае хватит на 36-й ход Алисы. А так как 362 = 1296 и  1331 - 1296 = 35, то монет в любом случае не хватит на 36-й ход Базилио. Таким образом, Алиса выиграет.

Ответ

Выигрывает Алиса.
Прислать комментарий


Задача 115394

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Двое играют на треугольной доске (см. рис.), закрашивая по очереди на ней треугольные клеточки. Одна клетка (начальная) уже закрашена перед началом игры.
Первым ходом закрашивается клеточка, граничащая (по стороне) с начальной, а каждым следующим ходом — клетка, граничащая с только что закрашенной. Повторно клетки красить нельзя. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) Начальная клетка — угловая, поле любого размера;
б) Поле и начальная клетка как на рисунке к этому заданию;
в) Общий случай: поле любого размера, и начальная клетка в нём произвольная.
г) Дополнительное задание. Можно подумать, что начальная клетка определяет исход партии независимо от действий игроков. Нарисуйте, однако, на каком-нибудь поле примеры таких двух партий с одной и той же начальной клеткой, чтобы в первой побеждал начинающий, а во второй — его партнёр. Для удобства нумеруйте клетки: начальная — 0, первым ходом красится клетка 1, вторым — 2 и т. д.


Решение

В пункте "а" побеждает второй игрок. После хода первого игрока (единственно возможного), ему следует закрасить клетку, примыкающую к стороне. Ход первого вынужден, второй снова красит клетку у стороны и в конце концов побеждает, крася угловую клетку.
Нетрудно понять, что в пункте "б", наоборот, победит первый игрок. Не приводя специально решения пункта "б", разберём общий случай.
в) То, кто будет победителем зависит от начальной клетки. Раскрасим клетки как на рисунке 1, в шахматном порядке, так, чтобы клетки вида Δ были белыми, а клетки вида  — чёрными.
Покажем, что если начальная клетка чёрная, начинающий побеждает. Разделим поле на "слои" (см. рис. 2). Начинающий должен всегда закрашивать клетку, оставаясь в текущем слое. При этом соперник либо тоже будет оставаться в этом слое (и тогда они вскоре доберутся до угла слоя), либо уйдёт во внешний слой. (Из угла он в любом случае уходит во внешний слой.) В конце концов первый игрок закрасит угловую клетку поля и победит.






Решение дополнительного задания показано на рисунках 3 и 4. Поле и начальная клетка взяты как в пункте "б". Согласно теории, победить должен первый игрок, что и проиллюстрировано рисунком 3. Последний, седьмой ход в угол делает первый игрок. Но если бы первый игрок играл "как попало", он мог бы и проиграть: на правом рисунке после 10-го хода второго первый терпит поражение.





Прислать комментарий

Задача 35635

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. Один называет два числа, являющихся концами отрезка. Следующий должен назвать два других числа, являющихся концами отрезка, вложенного в предыдущий. Игра продолжается бесконечно долго. Первый стремится, чтобы в пересечении всех названных отрезков было хотя бы одно рациональное число, а второй стремится ему помешать. Кто выигрывает?

Подсказка

Каждым своим ходом второй может избежать того, чтобы определенные рациональные числа попали в пересечение всех отрезков.

Решение

  Выигрышная стратегия второго такова. Первым своим ходом он выбирает свой отрезок так, чтобы в нем не было ни одной целой точки. Вторым своим ходом он выбирает свой отрезок так, чтобы в нём не было ни одной точки вида m/2, где m – целое число. Действуя так и дальше, на n-м ходу он выбирает свой отрезок так, чтобы в нём не было ни одной точки вида m/n, где m – целое. Заметим, что при любой игре первого второй может выбирать отрезки согласно изложенным выше правилам.
  Пусть рациональное число p/q (для некоторого целого p и натурального q) лежит в пересечении всех отрезков. Но это противоречит тому, что второй игрок на своем q-м ходу назвал отрезок, не содержащий рациональных чисел, представимых в виде дроби со знаменателем q.

Ответ

Второй.

Прислать комментарий

Задача 60813

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Двое пишут  а) 30-значное;  б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

Решение

а) Стратегия второго: писать цифру так, чтобы сумма её с предыдущей цифрой равнялась 6. Поскольку 15·6 делится на 9, то полученное 30-значное число будет делиться на 9.

б) Стратегия первого: сначала нужно написать 1, а потом писать цифру так, чтобы сумма её с предыдущей равнялась 6. В этом случае перед последним ходом второго игрока сумма цифр будет равна 55, и он не сможет добиться своей цели.

Ответ

а) Может;  б) не может.

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 147]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .