Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 391]

Задача 61306

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61327

Тема:

[

Производная и касательная

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x₀;f (x₀)) пересекает ось Ox в точке с координатой

x₀ - $\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61406

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂ из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f $\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$ $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ x₂ $\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ f (x₂).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98025

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Найти число решений в натуральных числах уравнения [^x/₁₀] = [^x/₁₁] + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98427

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Сендеров В.А.

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 391]