Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108983

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найти углы треугольника, если известно, что все вписанные в него квадраты равны (каждый из квадратов вписан так, что две его вершины лежат на одной из сторон треугольника, а остальные вершины на двух других сторонах треугольника).

Решение

  Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а опущенные на них высоты – h_a, h_b и h_c. Согласно задаче 53756 стороны вписанных квадратов равны  ^ah_a/_a+ha,  ^bh_b/_b+hb,  ^ch_c/_c+hc.  По условию эти числа равны.
  Числители полученных дробей равны между собой (это удвоенная площадь треугольника). Следовательно, равны и знаменатели:
a + h_a = b + h_b = c + h_c.  Но поскольку  ah_a = bh_a = ch_a,  три пары чисел, выражающих сторону и опущенную на неё высоту данного треугольника, должны удовлетворять одному и тому же квадратному уравнению. В силу единственности пары решений квадратного уравнения эти три пары совпадают, откуда следует, что треугольник ABC – равносторонний (учитывая, что наименьшая высота меньше наименьшей стороны).

Ответ

Все углы равны 60°.

Прислать комментарий

---

Задача 55481

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной m и n, считая от вершины. К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите длины отрезков касательных, заключённых между сторонами треугольника.

Подсказка

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение

  Пусть P, Q и R – точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AB и AC треугольника ABC  (AB = BC).  Тогда  BP = BQ = m,
AQ = AR = CP = CR = n,  AC = 2n,  а периметр треугольника ABC равен  2(m + n) + 2n = 2(m + 2n).
  Пусть прямая, параллельная стороне BC, касается окружности в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках K и L соответственно. Тогда  KM = KQ,  LM = LR.  Поэтому периметр треугольника AKL равен  AK + KL + AL = AK + KM + ML + AL = AK + KQ + RL + AL = AQ + AR = 2n.
  Коэффициент подобия треугольников AKL и ABC равен отношению их периметров, то есть  ⁿ/_m+2n.  Следовательно,  KL = n·^BC/_m+2n = ^n(m+n)/_m+2n.
  Аналогично находим остальные искомые отрезки.

Ответ

^2mn/_m+2n,  ^n(m+n)/_m+2n,  ^n(m+n)/_m+2n.

Прислать комментарий

---

Задача 53747

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что  AC² = ab,  где a и b – основания трапеции.

Подсказка

Определите, какие стороны подобных треугольников соответствуют друг другу.

Решение

Пусть  AD = a,  BC = b.  Поскольку  ∠BCA = ∠CAD,  то сторона AB соответствует стороне CD. значит, сторона BC соответствует стороне AC (иначе ABCD – параллелограмм), а треугольник ABC подобен треугольнику DCA. Поэтому  BC : AC = AC : AD.  Следовательно,  AC² = BC·AD = ab.

Прислать комментарий

---

Задача 56855

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

Решение

Отрезки CF и DK являются биссектрисами подобных треугольников ACB и CDB, поэтому  AB : FB = CB : KB.  Следовательно,  FK || AC.  Аналогично доказывается, что  LF || CB.  Поэтому CLFK – прямоугольник, у которого диагональ CF является биссектрисой угла LCK, то есть он – квадрат.

Прислать комментарий

---

Задача 108119

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

Решение

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, a r – её радиус.
  Как известно, треугольники B₁AC₁ и CAB подобны.
  Пусть X – точка касания вписанной окружности треугольника B₁AC₁ со стороной AC₁ (то есть с прямой AB). При указанном подобии точка T_B переходит в X. Поэтому  AX : AT_B = AB₁ : AB,  то есть треугольники AB₁B и AXT_B тоже подобны. Значит, угол AXT_B – тоже прямой, поэтому прямая T_BX проходит через центр O_A вписанной в треугольник B₁AC₁ окружности. Таким образом,  T_BOA ⊥ AB,  то есть  T_BO_A || IT_C.
  Аналогично,  T_CO_A || IT_B,  то есть T_BO_AT_CI – параллелограмм. Значит,  T_BO_A = IT_C = r.  Точно так же и все стороны шестиугольника равны r.

Прислать комментарий

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями