Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 173]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A1, A2, на другой – B1, B2, так что точка C1 пересечения прямых A1B1 и A2B2 лежит на третьей прямой. Пусть C2 – точка пересечения A1B2 и A2B1. Докажите, что угол C1OC2 прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается
стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O,
пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F –
её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B1 и B2 – точки её пересечения со стороной AC, B1 – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B2E и B1F лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На сторонах
BC,
CA,
AB треугольника
ABC взяты
точки
A1,
B1,
C1. Докажите, что
На сторонах
BC,
CA и
AB треугольника
ABC (или
на их продолжениях) взяты точки
A1,
B1 и
C1 соответственно.
Докажите, что точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда
. 
. 
= 1 (
теорема Менелая).
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 173]
Фильтр
