Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]

Задача 55198

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что NO ≤ 2MO.

Подсказка

Пусть точки M и N принадлежат соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC. Через вершину C проведите прямую, параллельную AB.

Решение

Пусть точка M принадлежит стороне AB, а N – стороне AC треугольника ABC. Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB, и продолжим MN до пересечения с этой прямой в точке N₁.
Пусть C₁ – середина AB. Из подобия треугольников N₁OC и MOC₁ находим, что ON₁ = ^OC/_OC₁·OM = 2OM.
Следовательно, ON ≤ ON₁ = 2OM.

Прислать комментарий

Задача 66301

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кыранбай М.

В треугольнике ABC проведена медиана CF. Точки X и Y симметричны F относительно медиан AD и BE соответственно.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BEX и ADY совпадают.

Решение

Поскольку AFDE – параллелограмм, середины отрезков FE и AD совпадают, следовательно, EX || AD. Так как треугольник FEX прямоугольный, серединный перпендикуляр к EX проходит через середину EF и, значит, совпадает с серединным перпендикуляром к AD (см. рис.). Аналогично совпадают серединные перпендикуляры к DY и BE.

Прислать комментарий

Задача 102473

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Медианы AM и CN треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ BCA = $\beta$ , AC = b. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.

Подсказка

Искомое расстояние равно трети высоты треугольника ABC, проведённой из вершины B.

Решение

Пусть L и H проекции точек оответственно O и B на прямую AC, K — середина AC.

Из прямоугольных треугольников ABH и CBH находим, что AH = BHctg $\alpha$ и CH = BHctg $\beta$ . Поскольку

b = AC = AH + CH = BHctg $\displaystyle \alpha$ + BHctg $\displaystyle \beta$ = BH(ctg $\displaystyle \alpha$ + ctg $\displaystyle \beta$ ),

то BH = ${\frac{b}{{\rm ctg }\alpha + {\rm ctg }\beta}}$ .

Поскольку BK — также медиана треугольника ABC, то точка O лежит на отрезке BK и делит его в отношении 2:1, считая от точки B.

Из подобия треугольников OLK и BHK следует, что

OL = BH^. $\displaystyle {\frac{OK}{BK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle {\frac{b}{{\rm ctg }\alpha + {\rm ctg }\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{b\sin \alpha \sin \beta}{3\sin(\alpha+\beta)}}$ .

Ответ

${\frac{b\sin \alpha \sin \beta}{3\sin(\alpha+\beta)}}$ .

Прислать комментарий

Задача 102513

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике FGH угол G прямой, FG = 8, GH = 2. Точка D лежит на стороне FH, A и B — точки пересечения медиан треугольников FGD и DGH. Найдите площадь треугольника GAB.

Подсказка

Пусть GC и GE — медианы треугольников GDF и GDH соответственно. Тогда треугольник GAB подобен треугольнику GCE с коэффициентом ${\frac{2}{3}}$ .

Решение

Пусть GC и GE — медианы треугольников GDF и GDH соответственно. Поскольку медианы треугольника делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, то ${\frac{GA}{GC}}$ = ${\frac{GB}{GE}}$ = ${\frac{2}{3}}$ . Поэтому треугольник GAB подобен треугольнику GCE с коэффициентом k = ${\frac{2}{3}}$ . Следовательно,

S_GAB = k^{2 .}S_GCE = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ (S_CGD + S_EGD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta FGD}+\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta DGH}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.S_FGD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.S_DGH $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta FGD}+\frac{1}{2}\cdot S_{\Delta DGH}}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (S_FGD + S_DGH) = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ ^.S_FGH = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.GH^.GF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ^.2^.8 = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{9}}$ .

Ответ

${\frac{16}{9}}$ .

Прислать комментарий

Задача 102514

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике MNP угол N прямой, MN = 6, NP = 3. Точка K лежит на стороне MP, A и B — точки пересечения медиан соответственно в треугольниках MNK и KNP. Найдите площадь треугольника NAB.

Ответ

Прислать комментарий

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]