Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 181]

Задача 64982

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Рожкова М.

В треугольнике ABC середины сторон AC, BC, вершина C и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины A, B и ортоцентр треугольника ABC.

Решение

Пусть C' – точка, симметричная C относительно середины AB. Тогда точки A, B, C' и ортоцентр треугольника ABC лежат на одной окружности (см. задачу 108949). С другой стороны, если A₀, B₀ – середины сторон BC, AC, то треугольник A₀B₀C гомотетичен треугольнику ABC' относительно центра тяжести M треугольника ABC с коэффициентом –½. Следовательно, описанные окружности этих треугольников касаются в точке M (см. рис.).

Прислать комментарий

Задача 98120

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Быковский И.

Пусть M – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника ABC. При повороте на 120° вокруг точки M точка B переходит в точку P, при повороте на 240° вокруг точки M (в том же направлении) точка C переходит в точку Q. Докажите, что либо треугольник APQ – правильный, либо точки A, P, Q совпадают.

Решение

Пусть R – поворот на 60°. Заметим, что R²(a) + a = R(a) для любого вектора a. Как известно, Отсюда Аналогично что и требовалось.

Прислать комментарий

Задача 108962

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Неравенства для площади треугольника	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Лист железа треугольной формы весит 900 г.
Доказать, что любая прямая, проходящая через его центр тяжести, делит треугольник на части, каждая из которых весит не менее 400 г.

Решение

Можно считать, что площадь фигуры численно равна её весу. Проведём через центр тяжести треугольника ABC прямую A₁C₁, параллельную основанию AC (см. рис.). Как известно, медиана разбивается центром тяжести в отношении 1 : 2. Следовательно, треугольник A₁BC₁, подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия ⅔. Значит, S_A₁BC₁ = 400.
Пусть KL – некоторая другая прямая, проходящая через центр тяжести O треугольника. Площадь треугольника KBL может быть получена из площади треугольника A₁BC₁ заменой площади треугольника C₁OL площадью треугольника A₁KO. Легко видеть, что последняя площадь больше. Проведём
C₁M || AB и продолжим OL до пересечения с C₁M в точке M. Треугольник OMC₁ равен треугольнику A₁OK (по стороне и двум углам), а треугольник OC₁L составляет лишь его часть. Аналогичное построение можно провести для любого другого треугольника. Кроме того, ясно, что на долю второй части данного треугольника остаётся тоже не менее 400: поворачивая прямую KL вокруг точки O, мы будем получать треугольники до тех пор, пока прямая KL не совпадёт с одной из медиан AO или OC. Тогда площадь треугольника будет наибольшей и равной половине площади данного треугольника, то есть 450. Значит, оставшаяся часть будет не менее 450.

Прислать комментарий

Задача 55335

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD угол A тупой, AD > AB, AD = 7. Точка A₁ симметрична точке A относительно прямой BD, а точка A₂ симметрична точке A₁ относительно прямой AC и лежит на диагонали BD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BA₂ = ${\frac{4}{5}}$ BD.

Подсказка

Докажите, что треугольник AA₁A₂ — равносторонний и примените теорему косинусов.

Решение

Из свойств осевой симметрии следует, что A₂A = A₂A₁ и AA₂ = AA₁. Поэтому треугольник AA₁A₂ — равносторонний, а точка O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является центром этого треугольника.

Обозначим BD = 5x. Тогда

A₂D = x, AO = OA₂ = OD - A₂D = $\displaystyle {\frac{5x}{2}}$ - x = $\displaystyle {\frac{3x}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ AOD = 120^o.

По теореме косинусов

AD² = OA² + OD² - 2OA^.OD cos 120^o, или 49 = $\displaystyle {\frac{9x^{2}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{25x^{2}}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{15x^{2}}{4}}$ .

Отсюда находим, что x = 2. Тогда BD = 10, AC = 2AO = 6. Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.AC sin 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.10^.6^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 15 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

15 $\sqrt{3}$ .

Прислать комментарий

Задача 55337

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD угол A острый, AB > AD, AB = 14. Точка C₁ симметрична точке C относительно прямой BD, а точка C₂ симметрична точке C₁ относительно прямой AC и лежит на продолжении диагонали BD за точку D. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BC₂ = ${\frac{4}{3}}$ BD.

Ответ

588 $\sqrt{3}$ .

Прислать комментарий

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 181]