Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

На окружности радиуса 1 отмечена точка O и из неё циркулем делается засечка вправо радиусом l. Из полученной точки O₁ в ту же сторону тем же радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

Прислать комментарий

Решение

Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.

Прислать комментарий

Решение

Пусть E – точка пересечения боковых сторон AD и BC трапеции ABCD, B_n+1 – точка пересечения прямых A_nC и BD  (A₀ = A),  A_n+1 – точка пересечения прямых EB_n+1 и  AB. Докажите, что  A_nB = ^AB/_n+1.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок длиной 3ⁿ разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого k(1k3ⁿ) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]