Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 71]

Задача 73700

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Лысов Ю.П.

На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

Решение

Решим задачу для n дуг. Обозначим сумму длин n дуг, образующих множество F через S (Поскольку нас интересует только относительная длина дуг, мы будем измерять ее в градусах.) .

S может быть сколь угодно близко к . Достаточно привести пример: располагаем (n-1) дугу, длина каждой из которых равна так, чтобы центры любых двух соседних отстояли на , а за (n-1) -й помещаем n -ю дугу с длиной так, чтобы расстояние между их ближайшими концами равнялось .

Легко проверяется, что указанная система дуг удовлетворяет условию задачи. При соответствующем выборе a₀ сумма длин дуг будет как угодно близка к .

Если же точку на окружности считать дугой нулевой длины, то, заменив в примере все дуги, кроме последней, на точки, получаем множество F с суммой длин дуг, равной (рис.1).

Докажем, что сумма S длин дуг не может быть меньше этого числа. Представим себе, что мы имеем два экземпляра нашей окружности, на которых размещены те же самые n дуг. Повернем одну из окружностей на угол ϕ , 0< ϕ<360^o . Рассмотрим множество U_ij всех таких значений ϕ , для которых при таком повороте i -я дуга повернутой окружности пересекается с j -й дугой неподвижной окружности. Нарисуем отдельно "контрольную" окружность (с выбранной на ней начальной точкой ϕ=0 (рис.2)) и отметим на ней множества U_ij для всех i, j от 1 до n . Ясно, что U_ij является дугой с длиной, равной сумме длин i -й и j -й дуг.

Отмеченные множества U_ij должны заполнять всю "контрольную" окружность, так как при любом повороте какие-то две дуги нашего множества должны пересекаться, поэтому сумма длин всех U_ij не меньше 360^o . С другой стороны, эта сумма равна 2n · S , так как каждая дуга множества входит в сумму 2n раз.

Отсюда получаем, что S = . Нетрудно заметить, что неравенство должно быть строгим (если отдельные точки не считать дугами), так как любые две области U_ii и U_jj имеют общий участок, содержащий начало отсчета.

Прислать комментарий

Задача 58099

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Решение

Задача 58100

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше ${\frac{1}{k^2-k+1}}$ ^.180^o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.

Решение

Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда пересекаются какие-либо отмеченные дуги. Нужно доказать, что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной. Конечный результат работы маляра будет такой же, как если бы ему поручили на i-м обороте красить окружность, когда i-я отмеченная дуга окружности, на которой сидит маляр, пересекается с какой-либо отмеченной дугой другой окружности, и сделали бы k оборотов.
Пусть $\varphi_{1}^{}$ ,..., $\varphi_{n}^{}$ — угловые величины отмеченных дуг. По условию $\varphi_{1}^{}$ < $\alpha$ ,..., $\varphi_{n}^{}$ < $\alpha$ , где $\alpha$ = 180^o/(k² - k + 1). За то время, пока пересекаются отмеченные дуги с номерами i и j, маляр окрашивает дугу величиной $\varphi_{i}^{}$ + $\varphi_{j}^{}$ . Поэтому сумма угловых величин дуг, окрашенных маляром на i-м обороте, не превосходит k $\varphi_{i}^{}$ + ( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ ), а сумма угловых величин дуг, окрашенных за все k оборотов, не превосходит 2k( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ ). Заметим, что при этом пересечение дуг с одинаковыми номерами мы учли фактически k раз. В частности, точка A, мимо которой проезжает маляр в тот момент, когда совпадают отмеченные дуги, заведомо покрашена k раз. Поэтому целесообразно выбросить из рассмотрения те дуги окружности, которые маляр красит в моменты пересечения каких-либо отмеченных дуг с одинаковыми номерами. Так как все эти дуги содержат точку A, то фактически мы выбросили только одну дугу, причем угловая величина этой дуги не превосходит 2 $\alpha$ . Сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных на i-м обороте, не превосходит (k - 1) $\varphi_{1}^{}$ + ( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ - $\varphi_{i}^{}$ ), а сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных за все k оборотов, не превосходит (2k - 2)( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ ) < (2k² - 2k) $\alpha$ . Часть окружности останется неокрашенной, если выполняется неравенство (2k²-2k) $\alpha$ $\le$ 360^o - 2 $\alpha$ , т. е. $\alpha$ $\le$ 180^o/(k² - k + 1).

Прислать комментарий

Задача 35795

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора.
Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?

Подсказка

Какова минимальная длина самой длинной из дорожек?

Решение

Оценка. Из 20 дорожек суммарной длиной 1000 = 20·50 м длина хотя бы одной не меньше 50 м. Таким образом, даже одна из дорожек покрывает не меньше 50 м.
Пример. Возьмём 20 дорожек по 50 м и положим их точно друг на друга.

Ответ

50 м.

Прислать комментарий

Задача 32007

Темы:	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Существует ли выпуклый 1978-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов?

Решение

Сумма внешних углов 1978-угольника равна 360°. Поэтому у него должен быть угол, меньший 1°.

Ответ

Не существует.

Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 71]