Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 68]      

Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении.

Решение

Пусть O — данная точка. Проведем прямые, содержащие стороны многоугольника, и выберем среди них ту, которая наименее удалена от точки O. Пусть на этой прямой лежит сторона AB. Докажем, что основание перпендикуляра, опущенного из точки O на сторону AB, лежит на самой стороне. Предположим, что основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AB, является точка P, лежащая вне отрезка AB. Так как точка O лежит внутри выпуклого многоугольника, отрезок OP пересекает некоторую сторону CD в точке Q. Ясно, что OQ < OP, а расстояние от точки O до прямой CD меньше OQ. Поэтому прямая CD менее удалена от точки O, чем прямая AB, что противоречит выбору прямой AB.

Прислать комментарий

Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.

Решение

Возьмём наибольшую сторону AB данного многоугольника и рассмотрим полосу, состоящую из тех точек, проекции которых на прямую AB попадают на отрезок AB. Эту полосу должна пересекать какая-нибудь другая сторона CD многоугольника (одна из вершин C и D может совпадать с A или с B). Неравенство CDAB показывает, что одна из вершин C и D лежит внутри или на границе полосы (если C = A или B, то вершина D лежит внутри полосы). Вершина, лежащая внутри или на границе полосы и отличная от A и B, обладает требуемым свойством.

Прислать комментарий

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если A, B, C — любые три точки из данных, то треугольник ABC — тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Решение

Выберем среди данных точек две точки A и B, расстояние между которыми наибольшее (если таких пар точек несколько, то берём любую из них). Если C -- любая из данных точек, то в треугольнике ABC тупым может быть только угол при вершине C. Поэтому точка C лежит внутри окружности с диаметром AB.

Прислать комментарий

На плоскости задано n точек. Известно, что среди любых трёх из них имеются две, расстояние между которыми не больше 1. Доказать, что на плоскость можно наложить два круга радиуса 1, которые закроют все эти точки.

Решение

Так как у нас конечное число точек, то можно выбрать две из них, расстояние между которыми наибольшее. Из этих точек как из центров проведем окружности радиуса 1. Любая третья точка попадет в один из этих кругов. Это происходит потому, что если между выбранными нами точками расстояние больше 1, то третья точка должна от одной из них находиться на расстоянии, не большем 1. Если расстояние между выбранными точками не больше единицы, то утверждение тем более верно, так как выбрано наибольшее расстояние.

Прислать комментарий

Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.

Решение

Пусть BE — наибольшая диагональ пятиугольника ABCDE. Докажем, что тогда из отрезков BE, EC и BD можно составить треугольник. Для этого достаточно проверить, что BE < EC + BD. Пусть O — точка пересечения диагоналей BD и EC. Тогда BE < BO + OE < BD + EC.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 68]