ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 216]      



Задача 65467

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

У Деда Мороза было n сортов конфет, по k штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по k подаркам, в каждый – по n конфет, и раздал их k детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78220

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Прислать комментарий     Решение

Задача 105165

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65241

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

На доске написаны  N ≥ 9  различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся такое девятое, отличное от них, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78109

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Неравенство треугольника ]
Сложность: 5-
Классы: 11

Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Можно ли его деформировать в треугольник?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 216]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .