Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 94]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?
Решение
Назовём расположение фишек одноцветным, если фишки стоят на клетках одного цвета, разноцветным – если на клетках разного цвета. Заметим, что при перемещениях фишек одноцветные и разноцветные расположения чередуются, значит, их должно быть поровну. Однако общее количество разноцветных расположений равно 2·32², а одноцветных – 2·32·31, поскольку две фишки не могут стоять на одной клетке. Значит, все возможные расположения встретиться не могут.
Ответ
Не могут.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?
Решение
Наиболее простой пример получается периодическим повторением расстановки, показанной на рисунке.
Если соседи чёрной клетки по горизонтали по модулю равны 1, то их произведение равно –1, а произведение её соседей по вертикали равно –2. Если же соседи чёрной клетки по вертикали по модулю равны 1, то их произведение равно 1, а произведение ее соседей по горизонтали равно 2. Для каждой чёрной клетки выполняется одно из этих условий, а значит, подсчитанное для каждой чёрной клетки число равно единице.
Ответ
Могут.
На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две
из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?
Решение
Оценка. На одной вертикали может быть не более двух блох, прыгающих по вертикали (иначе блохи, находящиеся в клетках одного цвета, встретятся). То же верно для горизонталей. Итого на 20 горизонталях и вертикалях – не более 40 блох.
Пример. Ясно, что блохи с клеток разных цветов не смогут встретиться. Поэтому достаточно указать только 20 "белых" блох (расположение "чёрных" блох можно получить, например, симметрией относительно средней линии).
На левом рисунке нарисована одна "вертикальная" блоха В и все запрещённые положения "горизонтальных" блох (те, начиная с которых, "горизонтальная" блоха может оказаться с В на одной клетке). Как видим, запрещённые клетки образуют два прямоугольника, построенных на проходящих через В диагоналях. На правом рисунке размещены 10 "вертикальных" блох и все запрещённые ими положения "горизонтальных". Мы видим, что в каждой горизонтали осталась хотя бы одна незапрещённая белая клетка, куда можно посадить "горизонтальную" блоху.
Ответ
40 блох.
Дан квадратный лист клетчатой бумаги размером
100×100 клеток. Проведено несколько несамопересекающихся
ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих
точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами
обязательно выходят на границу. Докажите, что кроме
вершин квадрата найдется еще узел (внутри квадрата или
на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.
Решение
Раскрасим узлы клетчатой бумаги в шахматном порядке (рис.). Так как
концы любого единичного отрезка разноцветны, то ломаная с одноцветными концами содержит нечетное число узлов, а с разноцветными — четное. Предположим, что из всех узлов границы (кроме вершин
квадрата) выходят ломаные. Докажем, что тогда все ломаные вместе
содержат четное число узлов. Для этого достаточно доказать, что число
ломаных с одноцветными концами четно. Пусть на границе квадрата
расположено 4
m белых и 4
n черных узлов (вершины квадрата не
учитываются). Обозначим число ломаных, у которых оба конца белые,
через
k. Тогда имеется 4
m - 2
k ломаных с разноцветными концами
и
[4
n - (4
m - 2
k)]/2 = 2(
n -
m) +
k ломаных с черными концами. Поэтому ломаных
с одноцветными концами будет
k + 2(
n -
m) +
k = 2(
n -
m +
k) — четное
число. Остается заметить, что квадратный лист бумаги размером
100×100 клеток содержит нечетное число узлов. Поэтому ломаные,
содержащие четное число узлов, не могут проходить через все узлы.
Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой.
Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на
отрезке (идущем по сторонам клеток - прим.ред.), соединяющем два узла,
обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел,
обозначенный одной из других букв?
Решение
Ответ: двумя буквами. Эти буквы нужно расставить в шахматном порядке.
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 94]
Фильтр
