ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 170]      



Задача 78547

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Решение

   Пусть O – центр пирога. Легко видеть, что окружность, построенная на BO как на диаметре, проходит через середины K и L сторон сторон AB и BC (см. рис.).

   Пусть P – точка, в которой пересекаются разрезы (или их продолжения), проведенные из точек K и L. Если точка P лежит внутри круга OKBL, то KP и LP не больше  BO = 1,  так что в точке P пересекаются сами разрезы, а не их продолжения. Таким образом, от пирога отрезан кусок KPLB.
   Пусть теперь P лежит вне круга. Тогда  ∠KPL < ∠KOL,  откуда легко следует, что  ∠OKP < ∠OLB,  то есть  α < β.  Остается заметить, что так как точки K, L, M идут по кругу, то не могут одновременно выполняться неравенства  α < β,  β < γ,  ...,  δ < α.  Это и означает, что хотя бы один кусок будет отрезан.

Прислать комментарий

Задача 110793

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Подобные фигуры ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо 90, либо 270 градусов. Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?

Решение

Пусть t – корень уравнения t4+t2=1 . Возьмем шестиугольник ABCDEF , в котором AB:BC=BC:CD=CD:AF=AF:FE=FE:ED= , и разрежем его, как на рис.9.4. Тогда получившиеся шестиугольники подобны ABCDEF с коэффициентами t и t2 .


Прислать комментарий

Задача 109648

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Перестройки ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Произвольные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 10

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Решение

  Заметим, что каждые два прямоугольника разбиения имеют параллельные стороны (можно считать, что горизонтальные и вертикальные). Поэтому количество сторон нашего многоугольника чётно (его горизонтальные и вертикальные стороны чередуются).

  Лемма. Если 2k-угольник можно разбить на прямоугольники, то его можно разбить на не более чем  k – 1  прямоугольник.
  Доказательоство. Сумма углов многоугольника  S = (2k – 2)180°,  и все углы в нём равны 90° или 270°. Если все они по 90°, то это прямоугольник.
  Пусть найдётся угол A в 270°. Продолжим одну из его сторон внутрь многоугольника до пересечения с контуром. Многоугольник разобьётся на две части, причём сумма внутренних углов частей не превосходит суммы внутренних углов многоугольника (продолжение стороны отрезает от угла A угол в 90°, который попадает в одну из частей, и угол в 180°, который лежит на стороне другой части, поэтому исчезает; в то же время дополнительно в этих частях могут возникнуть только два угла по 90° там, где продолжение стороны дошло до контура многоугольника).
  Заметим, что общее количество углов в 270° уменьшилось. Если они еще остались, будем повторять операцию с частями. В конце мы получим n частей без углов 270°, то есть n прямоугольников с общей суммой углов   S = 360°n ≤ (2k – 2)180°,  откуда  n ≤ k – 1.

  Из леммы следует, что в нашем многоугольнике число вершин больше 200, иначе его можно разбить на 99 прямоугольников. Разобьём его на m треугольников и рассмотрим сумму их углов:  S = 180°m.  Найдём теперь S, учитывая, что углы треугольников входят в состав углов многоугольника. Каждый угол многоугольника даёт вклад не менее 90° (из угла 270° может быть вычтено 180°, если его вершина лежит на стороне какого-нибудь треугольника), поэтому  S = 180°m > 200·90°,  откуда  m > 100,  что и требовалось доказать.

Прислать комментарий

Задача 58230

Тема:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 5
Классы: 7,8

а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.

Решение

а) Можно считать, что BC/AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (см. рис.). Может оказаться, что треугольники 4 и 5 равны, т. е. k + k3 = k4. В этом случае дополним конструкцию треугольниками 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Тогда треугольники 7 и 8 не равны, т. е. k6 ≠ k + k3 + k5. В самом деле, так как k + k3 = k4, то k6 = k2(k + k3) = k3 + k5 < k + k3 + k5.


б) Предположим, что правильный треугольник разрезан на неравные правильные треугольники. Стороны двух треугольников разбиения не могут совпадать. Будем рассматривать только стороны треугольников разбиения, лежащие внутри (не на границе) исходного треугольника; пусть N — число таких сторон. Возникает три типа вершин треугольников разбиения (см. рис.). Из каждой вершины 1-го, 2-го и 3-го типа выходит соответственно 4, 12 и 6 сторон. Пусть n1, n2 и n3 — количества точек 1-го, 2-го и 3-го типа. Тогда N = (4n1 + 12n2 + 6n3)/2 = 2n1 + 6n2 + 3n3.
Каждой точке 3-го типа можно сопоставить 3 стороны (на рис. это стороны AB, OP и OQ). Легко проверить, что каждая сторона будет соответствовать хотя бы одной точке 3-го типа. Следовательно, N$ \le$3n3, а значит, 2n1 + 6n2$ \le$ 0. В частности, n1 = 0, т. е. разбиение состоит лишь из исходного треугольника.

Прислать комментарий

Задача 64404

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
Сложность: 5

Автор: Белухов Н.

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа. Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

Решение

  1. Будем называть элементарным треугольник с площадью ½ и целыми квадратами сторон. Элементарный треугольник со сторонами 1, 1, и    обозначим через Δ.
  Назовем переклейкой операцию разрезания треугольника ABC по медиане AM и склеивания получившихся треугольников ABM и ACM по равным отрезкам BM и CM в новый треугольник со сторонами AB, AC и 2AM.
  2. Покажем, что из любого элементарного треугольника δ можно переклейками получить Δ.
  Заметим, что переклейка переводит элементарный треугольник в элементарный: площадь не меняется, а из формулы  4m2 = 2b2 + 2c2a2  следует, что целочисленность квадратов сторон тоже сохраняется.
  Будем переклеивать произвольный элементарный треугольник δ следующим образом: если у δ есть тупой угол, то будем разрезать его по медиане из этого угла. Тогда наибольшая сторона треугольника будет уменьшаться, и так как квадраты сторон целые, то когда-нибудь мы получим элементарный треугольник δ, являющийся прямоугольным или остроугольным. В этом случае синус наибольшего угла не меньше    поэтому произведение сторон, прилегающих к нему, не больше     значит, они обе единичные, а тогда угол между ними – прямой. Таким образом, мы получили Δ.
  3. Если δ' получен переклейками из δ, то и δ можно получить переклейками из δ'. Следовательно, любой элементарный треугольник δ может быть получен переклейками из Δ.
  4. Будем называть треугольник δ оберткой, если квадрат со стороной ½ можно завернуть в δ так, чтобы каждые две точки, лежащие на одной стороне δ и равноудаленные от середины этой стороны, совместились.
  Треугольник Δ является оберткой: перегнём его по средним линиям, параллельным катетам.
  Предположим, что треугольник  δ = ABC  является оберткой, и пусть AM – одна из его медиан. Рассмотрим способ заворачивания в нее квадрата, склеим в нём все пары точек стороны BC, равноудаленные от M, и разрежем ее вдоль AM. В результате получим, что переклейка треугольника ABC по медиане AM также является оберткой. Отсюда, вкупе с пунктом 3, следует утверждение задачи.

Прислать комментарий

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 170]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .