Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      

Треугольник, все углы которого не превосходят 120^o, разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного из полученных треугольников все углы не превосходят 120^o.

Решение

Рассмотрим все точки, отличные от вершин исходного треугольника и являющиеся вершинами полученных треугольников. Пусть m из этих точек лежит внутри исходного треугольника и n на его границе. Сумма всех углов полученных треугольников равна + n + 2m, т. е. число этих треугольников равно 1 + n + 2m. С другой стороны, к внутренней точке прилегает не более двух углов, превосходящих 120^o, а к точке на границе — не более одного. Поэтому число полученных треугольников больше, чем число их углов, превосходящих 120^o.

Прислать комментарий

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников?

Решение

Ответ: нет, нельзя.
Предположим, что выпуклый многоугольник M разрезан на невыпуклые четырёхугольники M₁, ..., M_n. Каждому многоугольнику N поставим в соответствие число f (N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180^o, и суммой углов, дополняющих до 360^o его углы, большие 180^o. Сравним числа A = f (M) и B = f (M₁) +...+ f (M_n). Рассмотрим для этого все точки, являющиеся вершинами четырёхугольников M₁, ..., M_n. Их можно разбить на четыре типа.
1. Вершины многоугольника M. Эти точки дают одинаковые вклады в A и B.
2. Точки на сторонах многоугольника M или M_i. Вклад каждой такой точки в B на 180^o больше, чем в A.
3. Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырёхугольников, меньшие 180^o. Вклад каждой такой точки в B на 360^o больше, чем в A.
4. Внутренние точки многоугольника M, в которых сходятся углы четырёхугольников, причём один из них больше 180^o. Такие точки дают нулевые вклады в A и B.
В итоге получаем A ≤ B. С другой стороны, A > 0, а B = 0. Неравенство A > 0 очевидно, а для доказательства равенства B = 0 достаточно проверить, что если N — невыпуклый четырёхугольник, то f (N) = 0. Пусть углы N равны α ≥ β ≥ γ ≥ δ. У любого невыпуклого четырёхугольника ровно один угол больше 180^o, поэтому f (N) = β + γ + δ − (360^o − α) = α + β + γ + δ − 360^o = 0^o. Получено противоречие, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников.

Ответ

нет, нельзя.

Прислать комментарий

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Решение

Пусть s, s₁, ..., s_n – площади квадрата и составляющих его прямоугольников, S, S₁, ..., S_n – площади описанных около них кругов. Если стороны k-го прямоугольника равны a и b, то  S_k = ¼ π(a² + b²). Поэтому  πs_k = πab ≤ ½ π(a² + b²) = 2S_k.  Следовательно,  2S = πs = π(s₁ + ... + s_n) ≤ 2(S₁ + ... + S_n).

Прислать комментарий

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Решение

Пусть длина ребра исходного тетраэдра равна 1. Назовём маленькими правильные тетраэдры со стороной 1/3, а средними - правильные тетраэдры со стороной 2/3.

Рассмотрим 4 средних тетраэдра, имеющих с исходным общий трёхгранный угол. Каждый такой тетраэдр делится остальными проведёнными плоскостями на 4 "угловых" маленьких тетраэдра и октаэдр с вершинами в серединах рёбер и стороной 1/3, причём октаэдры, соответствующие разным средним тетраэдрам, пересекаются только по одному ребру.

В итоге исходный тетраэдр оказывается разбит на 4 октаэдра со стороной 1/3 стороны тетраэдра, 4 маленьких тетраэдра, имеющих с исходным общую вершину, 6 маленьких тетраэдров, одно из ребёр которых лежит на ребре исходного (каждый из них - "угловой" для двух средних тетраэдров), и ещё 1 маленький тетраэдр, вершины которого являются центрами граней исходного (не входящий ни в один из средних тетраэдров).

Ответ

На 15 частей: 11 правильных тетраэдров со стороной 1/3 исходного и 4 октаэдра с такой же стороной.

Прислать комментарий

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Решение

а) С одной стороны, сумма всех углов полученных треугольников равна p. С другой стороны, она равна (n - 2) + 2m. Поэтому p = n + 2m - 2.
б) Воспользуемся результатом задачи 23.15. В рассматриваемой ситуации p = n + 2m - 2 и r = n + m; требуется вычислить q. Согласно формуле Эйлера q = p + r - 1 = 2n + 3m - 3.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]