ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 71]      



Задача 97968

Темы:   [ Покрытия ]
[ Малые шевеления ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Можно ли покрыть плоскость окружностями так, чтобы через каждую точку проходило ровно 1988 окружностей?

Решение

  Разобьём плоскость прямыми  y = k,  где k – целые числа, на "полоски" и впишем в эти полоски всевозможные окружности диаметра 1. Легко видеть, что каждая точка плоскости принадлежит ровно двум окружностям.
  Теперь возьмём 994 таких семейства окружностей, сдвинув их "немного" друг относительно друга по вертикали.

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 34987

Темы:   [ Покрытия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя покрыть остальными 99-ю?

Подсказка

Выбирайте прямоугольники последовательно один за другим, каждый следующий - намного тоньше и меньше по площади, чем предыдущий.

Решение

Будем выбирать прямоугольники последовательно один за другим. В качестве первого прямоугольника возьмем квадрат со стороной 1. Пусть si - площадь i-го прямоугольника, li - длина его большей стороны (по параметрам si,li прямоугольник восстанавливается, причем однозначно). Обозначим также через di длину диагонали i-го прямоугольника, таким образом, di есть максимальная возможная длина проекции i-го прямоугольника на прямую. Имеем: s1=1, l1=1, d1=21/2. Если первые k-1 прямоугольников заданы (т.е. определены значения si, li для всех i от 1 до k-1), то определяем sk, lk следующим образом. Положим sk=sk-1/4 (таким образом, si=4-(i-1)); также в качестве lk выберем некоторое число, большее 2(d1+d2+...+dk-1). (Можно представлять себе, что каждый следующий прямоугольник намного тоньше и меньше по площади, чем предыдущий.) Покажем, что определенные таким образом прямоугольники удовлетворяют условию, т.е. для каждого k от 1 до 100 прямоугольник с номером k невозможно покрыть остальными прямоугольниками. Предположим противное - прямоугольник с некоторым номером n покрыт остальными прямоугольниками. Условие ln>2(d1+d2+...+dn-1) означает, что прямоугольники с номерами 1,2,...,n-1 при проектировании их на большую сторону прямоугольника с номером n, покрывают меньше половины этой стороны. Это означает, что не менее половины площади n-ого прямоугольника не покрывается прямоугольниками с номерами 1,2,...,n-1, т.е. покрывается прямоугольниками с номерами n+1,n+2,...,100. Отсюда следует следующее неравенство на площади: sn/2<sn+1+sn+2+...+s100 или 4-(n-1)/2<4-n+4-(n+1)+...+4- 99. Последнее неравенство преобазуется к виду 2-2n+1<2-2n+2-2n-2+...+2- 198, откуда получаем (сокращая на 2-2n+1): 1<1/2+1/8+...+2-199+2n, что неверно (число 1 разлагается в бесконечную сумму 1=1/2+1/4+1/8+...).

Ответ

существуют.
Прислать комментарий


Задача 107850

Темы:   [ Покрытия ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат?

Комментарий. Во фразе "все квадраты одинаковы" имеется в виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.

Решение

  См. рис. ниже для 8 белых квадратов.

Обозначим вершины красного квадрата буквами A, B, C и D. Диагональ AC разобьем на 100 равных отрезков,

концы которых последовательно обозначим числами 1, 2, ..., 101 (точка A обозначена числом 1, а точка C — числом 101). Заметим, что для каждой пары точек k и k + 1 (k = 1, 2, ..., 100), существуют ровно два квадрата данного размера, стороны которых параллельны сторонам красного квадрата и проходят через точки k и k + 1, причем один из этих квадратов содержит вершину B и не содержит D, а другой квадрат, наоборот, содержит D и не содержит B (см. рис.). Если k нечетно, то возьмем тот квадрат, который содержит вершину B, а если k четно, возьмем квадрат, содержащий вершину D. Выбранные таким образом 100 белых квадратов покрывают целиком красный квадрат, но если удалить квадрат, стороны которого проходят через точки k и k + 1, то отрезок диагонали с концами k и k + 1 покрыт не будет.

Ответ

Не всегда.
Прислать комментарий


Задача 78630

Темы:   [ Покрытия ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Метод координат в пространстве (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.

Решение

Введём в пространстве систему координат Oxyz и выберем из данных точек 4 точки с наибольшей координатой z. Рассмотрим проекции данных точек на плоскость Oxy и с помощью прямых углов в полученных точках осветим эту плоскость (см. решение задачи 5 для 7 класса). Октанты в исходных точках направим по сторонам этих прямых углов и в отрицательном направлении оси Oz. Для оставшихся четырёх точек делаем то же самое, только теперь направляем октанты в положительном направлении оси Oz.
Прислать комментарий


Задача 109638

Темы:   [ Покрытия ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Можно ли прямоугольник 5×7 покрыть уголками из трех клеток (т.е. фигурками, которые получаются из квадрата 2×2 удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?

Решение



Покрасим клетки прямоугольника в черный и белый цвета так, как показано на рисунке. В черные клетки запишем число -2 , а в белые – число 1. Заметим, что сумма чисел в клетках, покрываемых любым уголком, неотрицательна, следовательно, если нам удалось покрыть прямоугольник в k слоев, удовлетворяющих условию, то сумма S чисел по всем клеткам, покрытым уголками, неотрицательна. Но если сумма всех чисел в прямоугольнике равна s , то S=ks=k(-2· 12+23· 1)=-k>0 . Получим противоречие.
Аналогично доказывается, что покрытия, удовлетворяющего условию задачи не существует, если прямоугольник имеет размеры 3×(2n+1) и 5×5. Прямоугольник 2×3 можно покрыть в один слой двумя уголками, прямоугольник 5×9 – в один слой пятнадцатью уголками, квадрат 2×2 – в три слоя четырьмя уголками. Комбинируя эти три покрытия, нетрудно доказать, что все остальные прямоугольники m×n ( m,n2 ) можно покрыть уголками, удовлетворяя условию.
Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 71]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .