ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 119]
На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий? РешениеПервый способ. В одной клеточке чёрный треугольник можно расположить четырьмя способами (двумя способами можно выбрать диагональ и двумя способами можно выбрать какой из треугольников будет чёрным). Легко проверить, что если знать расположение треугольников в клеточках на главной диагонали, положение треугольников в остальных клеточках восстанавливается единственным образом. Следовательно, число правильных покрытий равно 48 = 216. Второй способ. Левую верхнюю клетку можно покрыть четырьмя способами. Соседнюю с ней по горизонтали – уже двумя способами, следующую соседнюю – снова двумя способами, и так далее. Получаем, что верхнюю строку можно покрыть 2²·27 = 29 способами. Оставшиеся семь клеток левого столбца аналогично можно покрыть 27 способами. Всего получаем 216 способов. Если в квадрате 2×2 уже покрыто три клетки, то, как легко проверить, четвёртая покрывается однозначно. Следовательно, вся оставшаяся часть доски покрывается однозначно. Ответ216 покрытий.
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали? РешениеСм. рисунок: ОтветМожно.
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали? РешениеСм. рисунок: ОтветМожно.
ПодсказкаПодумайте, где расположена косточка 6-6.РешениеСм. рисунок.
ПодсказкаПредположите, что это возможно, и исходя из этого предположения постройте из доминошек "лесенку", которая начинается с угла доски.РешениеДокажем, что всегда образуется хотя бы один квадратик 2×2. Предположим противное – доска покрыта доминошками так, что ни одного квадратика не образуется. Занумеруем горизонтальные ряды доски числами от 1 до 8, а
вертикальные ряды – буквами a, b, c, ..., h (как при записи ходов в шахматной
партии).
Рассмотрим доминошку, покрывающую угловое поле a1.
Пусть, для определенности, эта доминошка горизонтальная, т.е.
покрывает еще поле b1.
Рассмотрим доминошку, покрывающую поле a2.
Если бы она была горизонтальной, то она образовывала бы квадратик
2×2 с первой доминошкой.
Следовательно, эта доминошка вертикальная, и она покрывает поля
a2, a3. Ответнельзя.
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 119] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|