ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 119]      



Задача 98232

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

Решение

Первый способ. В одной клеточке чёрный треугольник можно расположить четырьмя способами (двумя способами можно выбрать диагональ и двумя способами можно выбрать какой из треугольников будет чёрным). Легко проверить, что если знать расположение треугольников в клеточках на главной диагонали, положение треугольников в остальных клеточках восстанавливается единственным образом. Следовательно, число правильных покрытий равно  48 = 216.

Второй способ. Левую верхнюю клетку можно покрыть четырьмя способами. Соседнюю с ней по горизонтали – уже двумя способами, следующую соседнюю – снова двумя способами, и так далее. Получаем, что верхнюю строку можно покрыть  2²·27 = 29  способами. Оставшиеся семь клеток левого столбца аналогично можно покрыть 27 способами. Всего получаем 216 способов. Если в квадрате 2×2 уже покрыто три клетки, то, как легко проверить, четвёртая покрывается однозначно. Следовательно, вся оставшаяся часть доски покрывается однозначно.

Ответ

216 покрытий.

Прислать комментарий

Задача 98448

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Решение

См. рисунок:

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 98453

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Решение

См. рисунок:

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 103017

Тема:   [ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7

Комплект косточек домино выложен в виде прямоугольника 8×7 клеток. Попробуйте определить, как расположены косточки?

домино

Подсказка

Подумайте, где расположена косточка 6-6.

Решение

См. рисунок.

домино

Прислать комментарий

Задача 35112

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли покрыть шахматную доску 8×8 доминошками 2×1 так, чтобы никакие две доминошки не образовывали квадратик 2×2?

Подсказка

Предположите, что это возможно, и исходя из этого предположения постройте из доминошек "лесенку", которая начинается с угла доски.

Решение

Докажем, что всегда образуется хотя бы один квадратик 2×2. Предположим противное – доска покрыта доминошками так, что ни одного квадратика не образуется.

Занумеруем горизонтальные ряды доски числами от 1 до 8, а вертикальные ряды – буквами a, b, c, ..., h (как при записи ходов в шахматной партии). Рассмотрим доминошку, покрывающую угловое поле a1. Пусть, для определенности, эта доминошка горизонтальная, т.е. покрывает еще поле b1. Рассмотрим доминошку, покрывающую поле a2. Если бы она была горизонтальной, то она образовывала бы квадратик 2×2 с первой доминошкой. Следовательно, эта доминошка вертикальная, и она покрывает поля a2, a3.
Далее, рассмотрим доминошку, покрывающую поле b2. Если бы она была вертикальной, то она образовывала бы квадратик 2×2 с предыдущей доминошкой.
Рассматривая далее доминошки, покрывающие поля b3, c3, c4, d4, d5, ..., мы построим "лесенку" чередующихся горизонтальных и вертикальных доминошек, занимающих пары полей (b2,c2),(b3,b4),(c3,d3),(c4,c5),(d4,e4), ..., (g7,h7). После этого остается замкнутое пространство из двух клеток g8, h8, которое должно заниматься одной доминошкой, образующей квадратик 2×2 с доминошкой (g7,h7).
Тем самым доказано, что квадратик 2×2 найдется в любом случае.

Ответ

нельзя.
Прислать комментарий


Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 119]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .