Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 49]
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
Два квадрата ABCD и KLMN расположены так, что вершины B, C, K и N лежат на одной прямой, а четыре оставшиеся расположены по разные стороны от BC и лежат на одной окружности. Известно, что сторона одного из квадратов на 1 больше стороны другого. Найдите расстояние от центра окружности до прямой BC.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
Cерединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного
треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N.
Пусть точка C движется по
описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при
этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной
окружности.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 49]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Диаметр, хорды и секущие
>>
Хорды и секущие (прочее)
