Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 71]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55135

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

Подсказка

Докажите, что каждый из указанных отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах, делятся на 8 равных частей.

Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD (рис.1). Тогда четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Его диагонали MK и NL делятся точкой пересечения Q пополам. Рассуждая аналогично докажем, что каждый из отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах исходного четырёхугольника, делится на 8 равных частей.

Осталось доказать, что утверждение задачи верно для выпуклого четырёхугольника, все стороны которого разделены пополам (рис.2). Для этого достаточно заметить, что треугольники с общей вершиной O и попарно равными основаниями попарно равновелики.

Прислать комментарий

---

Задача 108647

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Вспомогательная окружность ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

M – точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника, N – точка пересечения его средних линий (отрезков, соединяющих середины противоположных сторон), O – центр описанной окружности. Докажите, что OM ON .

Решение

Пусть E , F , G и H – середины сторон соответственно AB , BC , CD и DA данного четырёхугольника ABCD ; P и Q – середины его диагоналей AC и BD соответственно. Четырёхугольники EFGH и PFQH – параллелограммы, причём точка N – их общий центр как середина общей диагонали FH . Значит, N – середина отрезка PQ . Перпендикуляры, опущенные на хорды AC и BD из центра O описанной окружности четырёхугольника ABCD , проходят через середины P и Q этих хорд. Значит, из точек P и Q отрезок OM виден под прямым углом. Следовательно, точки P и Q лежат на окружности с диаметром OM . Поскольку точка N лежит внутри этой окружности (как середина хорды PQ ), то OM ON .

Прислать комментарий

---

Задача 109025

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Диагонали четырёхугольника равны по a , а сумма его средних линий b (средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислить площадь четырёхугольника.

Решение

Соединим последовательно середины сторон данного четырёхугольника E , K,T,P (рис.). Полученный четырёхугольник EKTP есть ромб, ибо его стороны равны половинам диагоналей как средние линии треугольников ABC,ADC,BCD , ABD , а диагонали данного четырёхугольника по условию равны a . Далее средние линии указанных треугольников отсекают от них треугольники с площадью, в 4 раза меньшей, чем площади этих треугольников, т.е. S _BEK=1/4S _BAC, S _PTD=1/4S _ACD, S _KCT=1/4S _DBC, S _AEP=1/4S _ABD . Сложив площади первых двух треугольников, а затем вторых, получим:

S _BEK+S _PTD=1/4(S _ABC+S _ACD)=1/4S_ABCD,

S _KCT+S _AEP=1/4(S _DBC+S _ABD)=1/4S_ABCD.
Сумма площадей всех четырёх треугольников, дополняющих ромб, равна половине площади четырёхугольника. Следовательно, площадь данного четырёхугольника равна удвоенной площади ромба. Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей, а площадь данного четырёхугольника – произведению диагоналей ромба, каковыми являются средние линии данного четырёхугольника. Если обозначим средние линии через x и y , то из треугольника, например, OEK найдём, что x²+y²=a², (x+y)²=a²+2xy, xy=((x+y)²-a²)/2=(b²-a²)/2 .

Ответ

(b²-a²)/2 .

Прислать комментарий

---

Задача 53477

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник по серединам его сторон.

Подсказка

Середины трёх последовательных сторон пятиугольника и середина одной из его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ — середины последовательных сторон A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, A₄A₅, A₁A₅ искомого пятиугольника. Если K — середина диагонали A₃A₅, то четырёхугольник M₁M₂KM₅ — параллелограмм.

Построение: находим точку K; строим треугольник A₃A₄A₅ по серединам его сторон M₃, M₄ и K; построенный треугольник достраиваем до искомого пятиугольника.

Рассмотрите композицию симметрий относительно середин последовательных сторон пятиугольника.

Прислать комментарий

---

Задача 56457

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника – вершины параллелограмма.
Для каких четырёхугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких – ромбом, для каких – квадратом?

Решение

  Пусть K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно четырёхугольника ABCD. Тогда  KL = MN = ^AC/₂  и отрезок KL параллелен MN, то есть KLMN – параллелограмм.
  Теперь ясно, что KLMN – прямоугольник, если диагонали AC и BD перпендикулярны; ромб, если  AC = BD;  квадрат, если диагонали AC и BD равны по длине и перпендикулярны.

Прислать комментарий

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 71]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями