ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 56786

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN2 = (ab + c2)/2, где c = CD.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56787

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56790

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108106

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Треугольник ABC с острым углом  ∠A = α  вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110794

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Периметр треугольника ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .