ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 111926

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.
a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 72o ?
Прислать комментарий     Решение


Задача 56788

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площадь трапеции ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

Прислать комментарий     Решение

Задача 98226

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Перестройки ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Прислать комментарий     Решение

Задача 35236

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56791

Тема:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
Сложность: 5
Классы: 9

Точки A и B окружности S1 соединены дугой окружности S2, делящей площадь круга, ограниченного S1, на равные части. Докажите, что дуга S2, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S1.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .