Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 171]

Задача 35015

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения точки.

Подсказка

Выразите площадь равностороннего треугольника, используя расстояния от точки до его сторон.

Решение

Пусть точка P находится внутри равностороннего треугольника ABC. Обозначим за a сторону треугольника и за S его площадь, также обозначим за h₁, h₂, h₃ расстояния от точки P до сторон AB, BC, CA соответственно. Приравняем площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников APB, BPC, CPA. Запишем: S = AB*h₁/2+BC*h₂/2+CA*h₃/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. Отсюда h₁+h₂+h₃=2S/a. Таким образом, сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна 2S/a независимо от положения точки.

Прислать комментарий

Задача 52788

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольник со сторонами a и b и углом между ними $\alpha$ вписана полуокружность, диаметр которой лежит на третьей стороне. Найдите радиус полуокружности.

Подсказка

Соедините вершину данного угла треугольника с центром полуокружности.

Решение

Соединив вершину данного угла с центром полокружности, разобьём треугольник на два треугольника с основаниями a и b и высотами, равными r — радиусу полуокружности. Сумма площадей полученных треугольников равна площади данного треугольника, т.е.

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ar + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ br = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \alpha$ .

Отсюда находим , что

r = $\displaystyle {\frac{ab\sin \alpha}{a+b}}$ .

Ответ

${\frac{ab \sin \alpha}{a+b}}$ .

Прислать комментарий

Задача 53792

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формула Герона	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника.
Найдите стороны прямоугольника.

Подсказка

Одна из сторон прямоугольника отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник.

Решение

Пусть вершины P и Q прямоугольника MPQK принадлежат сторонам соответственно AB = 10 и BC = 17 треугольника ABC, а вершины M и K – стороне AC = 21. По формуле Герона S_ABC = = 7·3·4 = 84.
Если BD – высота треугольника ABC, то BD = ^2S_ABC/_AC = 8.
Пусть PM = x. Тогда PQ = 12 – x. Из подобия треугольников PBQ и ABC следует, что их высоты BT и BD относятся, как основания PQ и AC, то есть
^8–x/₈ = ^12–x/₂₁, откуда x = ⁷²/₁₃.

Ответ

⁷²/₁₃, ⁸⁴/₁₃.

Прислать комментарий

Задача 53899

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке K.
Докажите, что и

Подсказка

Примените метод площадей.

Решение

Поскольку высоты треугольников BKC и ABC, опущенные на общее основание BC, относятся, как KA₁ : AA₁, то S_BKC : S_ABC = KA₁ : AA₁. Аналогично
S_AKC : S_ABC = KB₁ : BB₁, S_AKB : S_ABC = KC₁ : CC₁. Поэтому
Поскольку то

Прислать комментарий

Задача 54931

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Найдите сторону AB, если BD = 18, BC = 30, AE = 20.

Подсказка

AB^.CD = BC^.AE.

Решение

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC находим, что

CD² = BC² - BD² = 30² - 18² = (30 - 18)(30 + 18) = 12^.48 = 12^{2 .}2²,

значит, CD = 24.

Пусть S — площадь треугольника. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.CD и S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.AE,

поэтому AB^.CD = BC^.AE, откуда

AB = $\displaystyle {\frac{BC\cdot AE}{CD}}$ = $\displaystyle {\frac{30\cdot 20}{24}}$ = 25.

Ответ

25.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 171]