ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



Задача 57727

Тема:   [ Метод усреднения ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Внутри выпуклого n-угольника A1A2...An взята точка O так, что $ \overrightarrow{OA_1}$ +...+ $ \overrightarrow{OA_n}$ = $ \overrightarrow{0}$. Пусть d = OA1 +...+ OAn. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n2 - 1) при n нечетном.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57728

Тема:   [ Метод усреднения ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $ \pi$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57729

Тема:   [ Метод усреднения ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98005

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Метод усреднения ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110807

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Метод усреднения ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 , B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .