Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 61]
|
|
Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10
|
Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.
Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что
существует выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными
диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.
Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть
A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN
с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN.
Докажите, что
MN2 + AB2 = 4R2.
Пусть
K,
L,
M и
N — середины сторон
AB,
BC,
CD
и
DA выпуклого четырехугольника
ABCD.
а) Докажите, что
KM(
BC +
AD)/2, причем равенство
достигается, только если
BC|
AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника
ABCD
найдите максимальные значения длин отрезков
KM и
LN.
В трапеции
ABCD стороны
BC и
AD параллельны,
M — точка пересечения биссектрис углов
A и
B,
N —
точка пересечения биссектрис углов
C и
D. Докажите, что
2
MN = |
AB +
CD -
BC -
AD|.
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 61]